Расчет площади пятиугольника: Площадь пятиугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Площадь пятиугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. Существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным и носит название «пентагон».

Геометрия пятиугольника

Пятиугольник — это фигура, которая состоит из пяти соединенных отрезков. Стороны произвольного многоугольника могут соединяться под разными углами, в результате чего фигура может быть невыпуклой. Наиболее ярким примером невыпуклого многоугольника является звезда, а пятиугольника — проекция зубчатой короны, когда два «зубца» выступают над прямоугольным основанием. Выпуклый многоугольник — это фигура, продолжение отрезков которого не пересекает других сторон. Если же мы продлим отрезки зубцов или лучей звезды, они пересекут другие стороны фигуры.

Пятиугольник в реальности

Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.

Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.

Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.

Площадь пентагона

Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:

S = n/4 × a² × ctg(pi/n),

где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.

Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:

S = 1,72 a²

где a — длина одной стороны.

Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:

Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:

• радиус вписанной окружности;
• радиус описанной окружности;
• длина стороны.

Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.

Примеры из жизни

Пентагон

Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:

S = 0,1359

Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.

Школьная задача

К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:

S = 817,36

Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.

Заключение

Пентагон нечасто встречается в реальной жизни, однако при решении производственных вопросов или школьных задач вам может понадобиться рассчитать площадь или периметр правильных многоугольников. Наш каталог калькуляторов к вашим услугам.

Расчет площади многоугольника онлайн

Калькулятор считает площадь многоугольника по введенным вами сторонами и диагоналям, главное чтобы диагонали делили многоугольник на несколько треугольников, которые в свою очередь не пересекались бы между собой.

И так, глядя на рисунок, можно сразу представить, что площадь данного многоугольника будет равна сумме площади трех треугольников, расположенных внутри многоугольника.

Для начала расчетов вам придется внимательно внести в таблицу значения сторон ваших треугольников.

Все остальное калькулятор сделает за вас. Пользуйтесь.

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Как рассчитать площадь пятиугольника неправильного

Расчет площади многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники

Пример многоугольника

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.

Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.

Пятиугольник — это многоугольник, у которого пять углов. В подавляющем большинстве задач вы столкнетесь с правильным пятиугольником, у которого все стороны равны. Есть два основных способа найти площадь пятиугольника (в зависимости от известных вам величин).

Калькулятор считает площадь многоугольника по введенным вами сторонами и диагоналям, главное чтобы диагонали делили многоугольник на несколько треугольников, которые в свою очередь не пересекались бы между собой.

И так, глядя на рисунок, можно сразу представить, что площадь данного многоугольника будет равна сумме площади трех треугольников, расположенных внутри многоугольника.

Для начала расчетов вам придется внимательно внести в таблицу значения сторон ваших треугольников.

Все остальное калькулятор сделает за вас. Пользуйтесь.

Площадь четырехугольника — формулы, примеры расчета

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Как получить площадь Пентагона? / математика | Thpanorama

площадь пятиугольника рассчитывается с помощью метода, известного как триангуляция, который может быть применен к любому многоугольнику. Этот метод заключается в разделении пятиугольника на несколько треугольников.

После этого вычисляется площадь каждого треугольника и, наконец, добавляются все найденные области. Результатом станет площадь пятиугольника.

Пентагон также можно разделить на другие геометрические фигуры, такие как трапеция и треугольник, как на рисунке справа.

Проблема в том, что длину основной базы и высоту трапеции не так легко вычислить. Кроме того, вы должны рассчитать высоту красного треугольника.

Как рассчитать площадь пятиугольника?

Общий метод расчета площади пятиугольника — это триангуляция, но этот метод может быть прямым или немного более длинным в зависимости от того, является ли пятиугольник регулярным или нет..

Площадь правильного пятиугольника

Прежде чем рассчитать площадь, необходимо знать, что такое апофем.

Апофемом правильного пятиугольника (правильного многоугольника) является наименьшее расстояние от центра пятиугольника (многоугольника) до середины одной стороны пятиугольника (многоугольника).

Другими словами, апофем — это длина отрезка, который идет от центра пятиугольника до середины стороны.

Рассмотрим правильный пятиугольник, длина его сторон которого равна «L». Чтобы вычислить вашу апофему, сначала разделите центральный угол α между числом сторон, то есть α = 360º / 5 = 72º.

Теперь, используя тригонометрические соотношения, длина апофема рассчитывается, как показано на следующем изображении.

Следовательно, апотема имеет длину L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.

Делая триангуляцию пятиугольника, вы получите фигуру, подобную приведенной ниже.

5 треугольников имеют одинаковую площадь (потому что это правильный пятиугольник). Следовательно, площадь пятиугольника в 5 раз больше площади треугольника. То есть: площадь пятиугольника = 5 * (L * ap / 2).

Подставляя значение апофема, получаем, что площадь равна A = 1.72 * L².

Поэтому, чтобы вычислить площадь правильного пятиугольника, вам нужно знать только длину стороны.

Площадь неправильного пятиугольника

Он начинается с неправильного пятиугольника, так что длина его сторон L1, L2, L3, L4 и L5. В этом случае апотема не может быть использована так, как она использовалась ранее.

После выполнения триангуляции вы получите следующую фигуру:

Теперь приступим к рисованию и вычислению высоты этих 5 внутренних треугольников..

Тогда площади внутренних треугольников имеют вид T1 = L1 * h2 / 2, T2 = L2 * h3 / 2, T3 = L3 * h4 / 2, T4 = L4 * h5 / 2 и T5 = L5 * h5 / 2..

Значения, соответствующие h2, h3, h4, h5 и h5, представляют собой высоты каждого треугольника, соответственно.

Наконец, площадь пятиугольника является суммой этих пяти областей. То есть A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Как вы можете видеть, вычисление площади неправильного пятиугольника сложнее, чем вычисление площади правильного пятиугольника..

Определитель Гаусса

Существует также другой метод, с помощью которого вы можете вычислить площадь любого неправильного многоугольника, известный как определитель Гаусса.

Этот метод состоит из рисования многоугольника в декартовой плоскости, затем вычисляются координаты каждой вершины..

Вершины перечислены против часовой стрелки, и, наконец, вычисляются определенные определители, чтобы в итоге получить площадь рассматриваемого многоугольника..

ссылки

1. Александр Д. и Коберлейн Г. М. (2014). Элементарная геометрия для студентов колледжа. Cengage Learning.
2. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Пирсон Образование.
3. Лофрет, Э. Х. (2002). Книга таблиц и формул / Книга таблиц умножения и формул. любитель.
4. Palmer, C.I. & Bibb, S.F. (1979). Практическая математика: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и правила скольжения (перепечатка ред.). Реверте.
5. Posamentier, A.S. & Bannister, R.L. (2014). Геометрия, ее элементы и структура: второе издание. Курьерская Корпорация.
6. Quintero, A.H. & Costas, N. (1994). геометрия. Редакция, УНР.
7. Ruiz, A. & Barrantes, H. (2006). геометрий. Редакция Технологии ЧР.
8. Тора Ф. Б. (2013). Математика 1-й дидактический блок ESO, том 1. Редакция Университетского Клуба.
9. Víquez, M., Arias, R. & Araya, J. (s.f.). Математика (шестой курс). EUNED.

Площадь многоугольника по координатам онлайн

Вы ввели следующие координаты многоугольника

Площадь заданного многоугольника (в условных единицах)

Калькулятор  позволяет высчитывать по заданным координатам  вершин площадь многоугольника (треугольника, трапеции, параллелограмма, пятиугольника и т.д)  а также любых других непересекающихся многоугольников.

 

 

Используется метод трапеций, суть которого заключается в том, что многоугольник представляет собой сумму трапеций, две вершины из которого это две соседние вершины многоугольника, а две другие вершины трапеции, есть абсциссы  координат двух вершин многоугольника.

Такой метод позволяет рассчитывать не только выпусклые многоугольники, но и любые другие, главное, что бы линии этого многоугольника не пересекались.

Есть еще два подобных сервиса: Площадь пересечения окружностей и Прямая линия

Кроме этого стоит обратить внимание на такие материалы как: Касательная к кривой второго порядка

Пересечение прямой и кривой второго порядка

Расчет кривых второго порядка на плоскости

Координаты вершин задаются в общей строке вида x1:y1 x2:y2 x3:y3 ….xn:yn

Координаты вершин являются действительные числа.

Координата каждой точки (абсцисса и ордината) записывается через двоеточие(без пробелов!)

Координаты вершин вводятся ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО по часовой или(!) против часовой стрелки.

Каждая координата вида x:y должен быть отделена пробелами от другой.

Нет никаких ограничений на количество координат вершин.

Примеры

mnog 5:7 9:7 10:2 2:2 

Площадь многоугольника заданный координатами 5:7 9:7 10:2 2:2

равен 30

Возможно Вам будет интересно Узнать площадь фигуры линейкой или дальномером

• Площадь пересечения окружностей на плоскости >>

Урок 22. формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности — Геометрия — 9 класс

Обозначим S площадь правильного n-угольника, a_n его сторону, Р периметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.
Рассмотрим сначала доказательство, что площадь данного многоугольника будет равна: S = 1/2 P r
Выполним следующее построение
Проведем линии из центра многоугольника к его вершинам. Многоугольник разбили на несколько треугольников. Применяя формулу площади треугольника запишем следующее равенство. Площадь каждого треугольника будет равна: S = 1/2 a_nr, где a_n – сторона многоугольника; r – радиус вписанной окружности, является высотой каждого рассматриваемого треугольника.
Так как все треугольники равны, то умножим количество треугольников на площадь треугольника:
S = n ∙ 1/2 a_nr, где n – количество треугольников.
После преобразований получим формулу: S = 1/2 (n ∙ a_n)r
Произведение в скобках отражает периметр рассматриваемого многоугольника. Таким образом, формула расчёта площади многоугольника выглядит следующим образом: S = 1/2 Pr
Выведем формулы для вычисления стороны правильного многоугольника и радиуса вписанной окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁Н₁О. Угол А₁ рассматриваемого треугольника будет равен половине угла αn многоугольника (отмечен красным), т.к. сторона треугольника А₁О является так же биссектрисой угла α_n многоугольника.
По формуле вычисления угла α правильного многоугольника α_n = (n — 2)/n ∙ 180° применяя простые преобразования получим равенство для угла А₁ рассматриваемого треугольника: ∠A₁ = α_n/2 = (n — 2)/2n ∙ 180° = 90° — (180°)/n
Полагая, что сторона правильного многоугольника an будет равна a_n = 2A₁H₁ и, учитывая, что треугольник А₁Н₁О является прямоугольным, воспользуемся соотношениями между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Получим следующее равенство: a_n = 2A₁H₁ = 2 Rcos⁡(90° — (180°)/n) = 2 R sin (180°)/n.
Итак, сторона правильного многоугольника a_n = ⁡2 R sin (180°)/n
радиус вписанной окружности r = R cos (180°)/n
Формулы расчета сторон для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.
Треугольник: a₃ = 2 R sin⁡(180°)/3 = 2 R sin60° = 2 R ∙ √3/2 = R√3
Квадрат: a₄ = 2 R sin⁡(180°)/4 = 2 R sin45° = 2 R∙√2/2 = R√2
Шестиугольник: a₆ = 2 R sin⁡(180°)/6 = 2 R sin30° = 2 R ∙ 1/2 = R

Пентагон. Калькулятор | Определение | Формула

С помощью этого калькулятора пятиугольника вы найдете основные свойства правильного пятиугольника: сторону, диагональ, высоту, периметр и площадь, а также радиус описанной и вписанной окружности. Введите любое значение, и остальные параметры будут рассчитаны на месте. Если вы не уверены, что такое пятиугольник или сколько сторон у него, продолжайте прокручивать, и вы найдете проясняющие картинки с кратким пояснением.

Что такое пятиугольник? Сколько сторон у пятиугольника?

Пентагон — это 5-сторонний многоугольник .Пентагон может быть простым или самопересекающимся.

Сумма внутренних углов в простом пятиугольнике составляет 540 °, поэтому каждый внутренний угол равен 108 °. У правильного простого пятиугольника все пять сторон равны по длине. (В этой статье мы используем термин «правильный пятиугольник» для описания правильного простого пятиугольника).

Площадь и периметр правильного пятиугольника

Площадь правильного пятиугольника можно рассчитать по формуле:

площадь = a² * √ (25 + 10√5) / 4 , где a — сторона правильного пятиугольника.

Также вы можете найти область с радиусом вписанной окружности:

площадь = 5 * r² * √ [(5 + √5) / 2] / 4 , где r — радиус вписанной окружности.

Периметр P правильного пятиугольника равен длине стороны, умноженной на количество вершин. Пентагон — это 5-сторонний многоугольник, поэтому периметр:

.

периметр = 5 *

Высота и диагональ правильного пятиугольника

Чтобы рассчитать высоту и диагональ правильного пятиугольника, все, что вам нужно указать, это длина стороны a :

диагональ = a * (1 + √5) / 2

высота = a * √ (5 + 2√5) / 2

Пентагон имеет пять диагоналей равной длины, которые образуют пентаграмму.

Как решить правильный пятиугольник с помощью этого калькулятора пятиугольника?

Теперь, когда мы знаем определение пятиугольника, мы можем взглянуть на этот пошаговый пример:

1. Узнайте, что дано . Для правильного пятиугольника достаточно одного параметра, чтобы найти оставшиеся шесть.
2. Введите значение в пятиугольник калькулятора . Возьмем для примера самый известный почти правильный пятиугольник — здание Пентагона, штаб-квартиру Министерства обороны США.Со страницы Википедии мы узнаем, что его ширина 1414 футов — это , что соответствует высоте пентаграммы.

Пентагон, 1414 футов, 431 м (голубой)
RMS Queen Mary 2, 1132 фута, 345 м (розовый)
USS Enterprise с ядерной установкой ВМС США, 1123 фута, 342 м (желтый)
Дирижабль LZ 129 Hindenburg, 804 фута , 245 м (зеленый)
Ямато Императорского флота Японии, 863 фута, 263 м (темно-синий)
Эмпайр-стейт-билдинг, 1454 фута, 443 м (серый)
Супертанкер Knock Nevis, 1503 фута, 458 м (красный) Главное здание Apple Park, 1522 фута, 458 м (зеленый)

3. Появляются параметры пятиугольника! Это:

• сторона — 918.9 футов
Диагональ
• — 1486,8 футов
• периметр — 4594 футов (0,87 миль)
• площадь — 33,35 ак
• Радиус описанной окружности — 781,6 фута
• радиус вписанной окружности — 632,4 фута

Вы заметили, насколько он огромен? Посмотрите по периметру — это почти миля! На самом деле каждая сторона здания составляет ~ 921 фут в длину — похоже, это практически правильный пятиугольник!

Прочая правильная форма

Если вас интересуют другие правильные формы, обратите внимание на наши замечательные инструменты:

Как найти площадь пятиугольника

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Как найти площадь Пентагона (Формула и видео)

Площадь Пентагона

Площадь пятиугольника — это пространство внутри его пяти прямых сторон. В большинстве случаев вам будет поручено найти площадь правильного пятиугольника, поэтому в этом уроке не будут рассмотрены неправильные пятиугольники.

У правильного пятиугольника равные стороны и равные углы. Есть несколько методов, которые вы можете использовать для вычисления площади правильного пятиугольника. Один метод использует длину стороны и длину апофемы.

Апофема Пентагона

Апофема пятиугольника — это отрезок прямой, идущий от центра пятиугольника к стороне пятиугольника. Апофема перпендикулярна стороне. У всех правильных многоугольников есть апофема. Для многоугольника, состоящего из n сторон, существует n апофем.

Содержание

1. Площадь Пентагона
2. Площадь формулы Пентагона
3. Как найти апофему и площадь Пентагона

Площадь Формулы Пентагона

Чтобы найти площадь пятиугольника с апофемой a и длиной одной стороны s, используйте формулу площади пятиугольника:

A = 12 × a × 5 (с)

Что делать, если вы не знаете апофему своего пятиугольника? Вы все еще можете найти площадь правильного пятиугольника, если знаете:

• Небольшая тригонометрия
• Длина одной стороны
• Каждый внутренний угол составляет 108 °

Вы знаете, что каждый внутренний угол имеет размер 108 °, потому что вы знаете кое-что о внешних углах и многоугольниках.Вы знаете, что:

• Сумма внешних углов любого многоугольника в сумме дает 360 °
• Внешний угол является дополнением внутреннего угла (внутренний + внешний = 180 °)

Чтобы найти размер каждой внешней стороны правильного многоугольника, вы разделите 360 ° на количество сторон. Для пятиугольника, равного 360 ° 5. Это говорит нам, что каждый внешний угол равен 72 °.

Теперь мы можем использовать это для определения меры каждого внутреннего угла. Помните, что внешний угол и внутренний угол должны складываться в 180 °, поэтому мы получаем 180 ° — 72 ° = 108 °.Каждый внутренний угол равен 108 °.

Как найти апофему и площадь пятиугольника

Используя длину одной стороны и меру внутреннего угла, давайте вычислим длину апофемы и найдем площадь правильного пятиугольника.

Допустим, у нас есть пятиугольник с длиной стороны 4 см. Разделите пятиугольник на пять равнобедренных треугольников, основание каждого из которых образовано сторонами пятиугольника.

[вставить рисунок правильного пятиугольника, разделенного на пять равнобедренных треугольников]

Разделите любой из этих треугольников на два прямоугольных:

[тот же рисунок, но один равнобедренный треугольник разделен на два прямоугольных {апофема}]

Теперь вы все знаете о прямоугольном треугольнике:

• Длина короткой ножки треугольника (12 сторона пятиугольника)
• Прямой угол (угол 90 °) противоположен гипотенузе (биссектриса стороны перпендикуляра)
• Острый угол 36 ° напротив короткой ножки 360 °, разделенный между 10 прямоугольными треугольниками)
• Острый угол 54 ° напротив длинной ножки (12 из внутреннего угла 108 °)

Тангенс угла (здесь наш угол 36 °) — это противоположная сторона (короткое плечо), разделенная на соседнюю сторону (длинное плечо, которое является одновременно высотой треугольника и апофемой треугольника). пятиугольник):

загар (36 °) = напротив соседнего

загар (36 °) = противоположно

h × tan (36 °) = напротив

h = противоположный (36 °)

Загар (36 °) приблизительно равен 0.727, поэтому у нас есть противоположная сторона (короткая ножка) 2 см, разделенная на 0,727:

h = 20,727 = 2,75 см

Теперь, когда высота треугольника h установлена, и зная основание треугольника (12; сторона пятиугольника) b, вы можете применить формулу для определения площади треугольника:

У нас есть 10 таких прямоугольных треугольников, поэтому мы модифицируем формулу площади треугольника и вычисляем площадь нашего правильного пятиугольника:

А = 12bh × 10

Половину и десять можно объединить:

А = 5 × ш × в

Теперь мы подставляем известные нам числа для основания и высоты:

А = 5 × 2 × 2.75

И мы приходим к нашему ответу:

A = 27,5 см2

Общая площадь пятиугольника 27,5 см2. Площадь всегда выражается в квадратах или квадратных единицах.

Следующий урок:

Площадь трапеции

Площадь полигонов — пояснения и примеры

Когда мы говорим о геометрии, мы говорим о длинах сторон, углах и площадях форм. Мы видели двух других раньше; поговорим о последнем. Вы должны увидеть так много вопросов на экзамене по математике, касающихся поиска заштрихованной области определенного многоугольника.

Для этого необходимо знать формулы площади для разных типов многоугольников.

Из этой статьи вы узнаете:

• Какая площадь многоугольника
• Как найти площадь многоугольника, включая площадь правильного и неправильного многоугольника?

Какова площадь многоугольника?

В геометрии площадь определяется как область, занимаемая внутри границы двухмерной фигуры.Следовательно, площадь многоугольника — это общее пространство или область, ограниченная сторонами многоугольника.

Стандартными единицами измерения площади являются квадратные метры (м ² ).

Как найти площадь многоугольника?

Правильные многоугольники , такие как прямоугольники, квадраты, трапеции, параллелограммы и т. Д., Имеют заранее определенные формулы для вычисления их площадей.

Однако для неправильного многоугольника площадь вычисляется путем деления неправильного многоугольника на небольшие участки правильных многоугольников.

Площадь правильного многоугольника

Расчет площади правильного многоугольника может быть таким же простым, как определение площади правильного треугольника. Правильные многоугольники имеют одинаковую длину сторон и одинаковые углы.

Существует трех методов вычисления площади правильного многоугольника . Каждый метод используется в разных случаях.

Площадь многоугольника с использованием концепции апофемы

Площадь правильного многоугольника может быть вычислена с использованием концепции апофемы.Апофема — это отрезок линии, соединяющий центр многоугольника с серединой любой стороны, перпендикулярной этой стороне. Следовательно, площадь правильного многоугольника равна;

А = 1/2. п . a

, где p = периметр многоугольника = сумма всех длин сторон многоугольника.

a = apothem.

Рассмотрим пятиугольник, показанный ниже;

Если апофема, a = x и длина каждой стороны пятиугольника равна s, то площадь пятиугольника определяется выражением;

Площадь = 1/2.п . a

Периметр = s + s + s + s + s

= 5s

Итак, замещение,

Площадь = (½) 5sx

= (5/2) (s. x) Sq. units

При использовании метода апофемы всегда указывается длина апофемы.

Площадь многоугольника по формуле: A = (L

² n) / [4 tan (180 / n)]

В качестве альтернативы площадь многоугольника можно вычислить по следующей формуле;

A = (L ² n) / [4 tan (180 / n)]

Где, A = площадь многоугольника,

L = длина стороны

n = количество сторон заданного многоугольник.

Площадь описанного многоугольника

Площадь описанного многоугольника равна,

A = [n / 2 × L × √ (R² — L² / 4)] квадратных единиц.

Где n = количество сторон.

L = Длина стороны многоугольника

R = Радиус описанной окружности.

Давайте решим несколько примеров задач о площади правильного многоугольника.

Пример 1

Найдите площадь правильного шестиугольника, каждая из сторон которого составляет 6 м.

Решение

Для шестиугольника количество сторон, n = 6

L = 6 м

A = (L ² n) / [4tan (180 / n)]

Путем замены,

A = (6 ² 6) / [4tan (180/6)]

= (36 * 6) / [4tan (180/6)]

= 216 / [4tan (180/6)]

= 216 / 2.3094

A = 93,53 м ²

Пример 2

Найдите площадь правильного шестиугольника, апофема которого равна 10√3 см, а длина стороны — 20 см.

Решение

Площадь = ½ в год

Сначала найдите периметр шестиугольника.

p = (20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20) см = (20 см * 6)

= 120 см

Заменитель.

Площадь = ½ Па

= ½ * 120 * 10√3

= 600√3 см ²

Пример 3

Найдите площадь правильного пятиугольника, если длина многоугольника 8 м. а радиус описанной окружности равен 7 м.
Решение
A = [n / 2 × L × √ (R² — L² / 4)] квадратных единиц.

Где, n = 5; L = 8 м и R = 7 м.

Путем замены

A = [5/2 × 8 × √ (7² — 8² / 4)] м ²

= [20√ (49 — 64/4)]

= 20√ (49 — 16)

= 20√33 м ²

= 20 * 5,745 м ²

= 114,89 м ²

Пример 4

Найдите площадь правильного пятиугольника, вершина которого и длина стороны 15 см и 18 см соответственно.

Раствор

Площадь = ½ в год

a = 15 см

p = (18 * 5) = 90 см

A = (½ * 90 * 15) см

= 675 см.

Площадь неправильного многоугольника

Неправильный многоугольник — это многоугольник с внутренними углами разных размеров. Длина сторон неправильного многоугольника также бывает разной.

Как было сказано ранее, мы можем вычислить площадь неправильного многоугольника, разделив неправильный многоугольник на небольшие участки правильных многоугольников.

Пример 5

Найдите площадь неправильного многоугольника, показанного ниже, если AB = ED = 20 см, BC = CD = 5 см и AB = BD = 8 см

Решение

Разделите неправильный многоугольник на части правильных многоугольников

Таким образом, ABED является прямоугольником, а BDC — треугольником.

Площадь прямоугольника = l * w

= 20 * 8 = 160 см ²

Площадь треугольника = 1/2.б. h

Высоту треугольника можно вычислить, применив теорему Пифагора. Например,

c ² = a ² + b ²

25 ² = a ² + 4 ²

a = √ (25-16)

a = 3

A = ½bh = ½ * 3 * 8

= 6 см ²

Теперь добавьте частичные области.

Площадь многоугольника = (160 + 6) см ² = 166 см ²

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Площадь пятиугольника — MathLearnIt.com

---

Хотя у пятиугольника только на одну дополнительную сторону / край больше, чем у квадрата или прямоугольника.

Проработка области обычного Пентагона немного сложнее и сложнее по сравнению с этим.

Содержание страницы

Формула площади пятиугольника

Если у вас обычный Пентагон вида:

Более сложная работа обычно включает сначала определение значения линии апофемы a .

На большей части этой страницы показано, откуда взялась эта формула и как рассчитать длину apothem line a .

Но если вы просто ищете отдельный пример, он есть внизу
эту страницу, на которую вы можете при желании пролистать прямо.

---

Вывести формулу пятиугольника

Содержание раздела

Пентагон Интерьер и экстерьер Уголки

Для обычного Пентагона все экстерьер углы в сумме дают 360 ° .o} {5}} = 72 ° .

Этот факт может сказать нам, каков размер внутренних углов.

Так как одна сторона прямой 180 ° .

Размер внутреннего угла пятиугольника может быть равен 180 ° — 72 ° = 108 °

Разделить пятиугольник на треугольники

Теперь оставим на минутку размер внутренних углов в сторону. o} {2}} = 54 ° .

Дальнейшее разделение треугольников

Теперь следующее, что нужно учитывать, это то, что каждый из 5 треугольников внутри Пентагона может сами будут разбиты на 2 меньших прямоугольных треугольника.

С каждым прямоугольным треугольником, имеющим 3 внутренних угла, которые в сумме составляют 180 ° .

Итак, каждый из этих новых меньших треугольников — это прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник, размеры всех углов которого мы знаем.

Теперь давайте посмотрим, как все это помогает при разработке площади конкретного регулярного Пентагона, где стороны / края все 8см в длину.

Разработка площади пятиугольника

Как и любой стандартный Пентагон, этот Пентагон можно разделить на треугольники, которые мы видели ранее.

Углы меньшего прямоугольного треугольника всегда одного размера, независимо от того, насколько они велики или малы. Пентагон.

Но длина сторон может отличаться.

У этого Пентагона основание одного из меньших прямоугольных треугольников будет 4 см , половина всего 8см край.

Поскольку площадь треугольника задается как \ bf {\ frac {1} {2}} × BASE × HEIGHT .

Нам просто нужно вычислить длину высоты, которая является синей линией.
Затем мы можем вычислить площадь всего большего треугольника с основанием 8см .

Тогда эта площадь треугольника, умноженная на 5 , даст площадь всей Пентагон.

Сосредоточившись только на одном из прямоугольных треугольников, мы можем использовать некоторую тригонометрию для определения размер синей линии, высота.

загар = \ bf {\ frac {противоположный} {смежный}}

Для угла 54 ° здесь сторона «, прилегающая » равна 4 см , а « напротив » сторона — высота.

коричневый ( 54 ° ) = \ boldsymbol {\ frac {height} {4}} (× 4 )

4 × желто-коричневый ( 54 ° ) = высота

5.5 = высота

Теперь, когда мы знаем как « основание », так и « высота » большего треугольника, мы можем
отработать площадь.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА = \ bf {\ frac {1} {2}} × 8 × 5,5 = 22 см ²

Теперь о площади всего Пентагона, так как есть 5 больших треугольников , мы просто умножаем 22cm ² на 5 .

ОБЛАСТЬ ПЕНТАГОНА = 22 см ² × 5 = 110 см ²

Что нам действительно нужно было знать

Итак, все, что нам действительно нужно, чтобы вычислить площадь & nbsp1 треугольников & nbsp5, — это длина синей линии и длина стороны / края пятиугольника.

Эту синюю линию мы использовали для высоты треугольников.Из центра край / сторона,
к центру Пентагона, это не просто высота треугольников.

Это конкретная линия, которая называется апофемой Пентагона.

Площадь Пентагона была: (ПЛОЩАДЬ 1 треугольника) × 5

ПЛОЩАДЬ 1 треугольника = \ boldsymbol {\ frac {1} {2}} × а × б ,

(\ boldsymbol {\ frac {1} {2}} × a × b ) × 5 = \ boldsymbol {\ frac {5} {2}} ab

Вот как возникает формула для площади обычного Пентагона, если вы знаете a и b .

---

Площадь пятиугольника Пример

(1,1)

Найдите площадь Пентагона с помощью следующих измерений.

Решение

Для использования формулы \ boldsymbol {\ frac {5} {2}} ab ,

b = 6 , тогда просто нужно установите значение a .

Можно использовать тот же подход, что и раньше, с соответствующим прямоугольным треугольником.

желто-коричневый ( 54 ° ) = \ tt \ bf {\ frac {a} {3}} (× 3 )

3 × желто-коричневый ( 54 ° ) = a

4,13 = a

Сейчас: \ boldsymbol {\ frac {5} {2}} ab = \ boldsymbol {\ frac {5} {2}} × 4.13 × 6 = 61,95

Площадь Пентагона 61,95 м ² .

1. Дом
›
2. Площадь фигур
› Площадь Пентагона

---

Вернуться к началу страницы

Формула площади правильного многоугольника — Math Open Reference

Формула площади правильного многоугольника — Math Open Reference

Количество квадратных единиц, необходимое для полного заполнения правильного многоугольника.Приведены четыре различных способа вычисления площади с формулой для каждого.

Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину для изменения размера многоугольника. Измените количество сторон. Площадь будет постоянно рассчитываться.

Приведенные ниже формулы дают площадь правильного многоугольника. Для начала используйте тот, который соответствует тому, что вам дано. Они предполагают, что вы знаете, сколько сторон у многоугольника. Большинство из них требуют определенных знаний тригонометрии (не рассматриваются в этом томе, но см. Обзор тригонометрии).

1. Учитывая длину стороны.

По определению, все стороны правильного многоугольника равны по длине. Если вам известна длина одной из сторон, площадь определяется по формуле: где
s — длина любой стороны
n — количество сторон
tan — функция тангенса, вычисленная в градусах
(см. Обзор тригонометрии)

Чтобы узнать, как выводится это уравнение, см. Выведение формулы площади правильного многоугольника.

2. Заданный радиус (описанный радиус)

Если вы знаете радиус (расстояние от центра до вершины, см. Рисунок выше): где
r — радиус (окружной радиус)
n — количество сторон
sin — функция синуса, вычисленная в градусах
(см. Обзор тригонометрии)

Чтобы узнать, как выводится это уравнение, см. Выведение формулы площади правильного многоугольника.

3. Учитывая апофему (в радиусе)

Если вы знаете апофема, или inradius, (перпендикулярное расстояние от центра до стороны.См. Рисунок выше), площадь определяется по формуле: где
a — длина апофемы (inradius)
n — количество сторон
tan — функция тангенса, вычисленная в градусах (см. Обзор тригонометрии).

Чтобы узнать, как выводится это уравнение, см. Выведение формулы площади правильного многоугольника.

Неправильные многоугольники

Найти площадь неправильного многоугольника сложнее, поскольку нет простых формул. Видеть Площадь неправильного многоугольника

Другие полигоны

Общие

Типы полигонов

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с многоугольниками

Именованные многоугольники

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Площадь неправильного многоугольника

Площадь неправильного многоугольника — Math Open Reference

В отличие от обычного многоугольника, если вы не знаете координаты вершин, нет простой формулы для площади неправильного многоугольника. Каждая сторона может быть разной длины, и каждый внутренний угол может быть разным. Он также может быть выпуклым или вогнутым.

Если вы знаете координаты вершин многоугольника, есть два метода:

1. Ручной метод.См. Площадь многоугольника (Координатная геометрия).
2. Компьютер алгоритм. См. Алгоритм определения площади любого многоугольника.

Итак, как это сделать?

Один из подходов — разбить фигуру на части, которые может решить — обычно треугольники, так как есть много способов вычислить площадь треугольников. Как именно вы это сделаете, зависит от того, что вам дано для начала. Поскольку это очень вариативно, нет простого правила, как это сделать. В приведенных ниже примерах представлены некоторые основные подходы, которые можно попробовать.

1. Разбейте на треугольники и прибавьте

. На рисунке выше многоугольник можно разбить на треугольники, нарисовав все диагонали. от одной из вершин. Если вы знаете достаточно сторон и углов, чтобы определить площадь каждого из них, вы можете просто сложить их, чтобы найти общую сумму. Не бойтесь рисовать где-нибудь лишние линии, если они помогут найти фигуры, которые вы сможете решить.

Здесь неправильный шестиугольник разделен на 4 треугольника добавлением красных линий. (См. Площадь треугольника)

2.Найдите «недостающие» треугольники, затем вычтите

. На рисунке выше общая форма представляет собой правильный шестиугольник, но отсутствует треугольная деталь.

Мы знаем, как найти площадь правильного многоугольника, поэтому мы просто вычитаем площадь «недостающего» треугольника, созданного путем рисования красной линии. (См. Площадь правильного многоугольника и Площадь треугольника.)

3. Рассмотрим другие формы

На рисунке выше фигура представляет собой неправильный шестиугольник, но его симметрия позволяет разбить его на два параллелограмма. нарисовав красную пунктирную линию.(при условии, конечно, что линии, которые выглядят параллельными, действительно таковы!)

Мы знаем, как найти площадь параллелограмма, поэтому мы просто находим площадь каждого из них и складываем их вместе. (См. Площадь параллелограмма).

Как видите, существует бесконечное количество способов разбить фигуру на части, которыми легче управлять. Затем вы складываете или вычитаете площади частей. То, как вы это делаете, зависит от личных предпочтений и того, что вам дают для начала.

4.Если известны координаты вершин

Если вам известны координаты x, y вершин (углов) фигуры, есть способ найти область напрямую. См. Площадь многоугольника (Координатная геометрия). Это работает для всех типов многоугольников (правильных, неправильных, выпуклых, вогнутых). Также есть компьютер алгоритм это делает то же самое. См. Алгоритм определения площади любого многоугольника.

Другие полигоны

Общие

Типы полигонов

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с многоугольниками

Именованные многоугольники

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.