Площадь 4 угольника формула: параллелограмма, трапеции, ромба, прямоугольника, квадрата.

В bimedians четырехугольника являются отрезки , соединяющие средние точки противоположных сторон. Пересечение бимедианов — это центр тяжести вершин четырехугольника.

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона . Обладает следующими свойствами:

• Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
• Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит.
• Периметр параллелограмма Varignon равна сумме диагоналей исходного четырехугольника.
• Диагонали параллелограмма Вариньона — это бимедианы исходного четырехугольника.

Два бимедиана в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, параллельны и все делятся пополам своей точкой пересечения.

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедиана, соединяющего середины сторон a и c, равна

м знак равно 1 2 — а 2 + б 2 — c 2 + d 2 + п 2 + q 2 {\ displaystyle m = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2} + p ^ {2} + д ^ {2}}}}

где p и q — длина диагоналей. {2}}}.}

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах — это не те две, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойная связь между бимедианами и диагоналями:

• Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
• Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические тождества

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам:

грех ⁡ А + грех ⁡ B + грех ⁡ C + грех ⁡ D знак равно 4 грех ⁡ А + B 2 грех ⁡ А + C 2 грех ⁡ А + D 2 {\ displaystyle \ sin {A} + \ sin {B} + \ sin {C} + \ sin {D} = 4 \ sin {\ frac {A + B} {2}} \ sin {\ frac {A + C} {2}} \ sin {\ frac {A + D} {2}}}

и

загар ⁡ А загар ⁡ B — загар ⁡ C загар ⁡ D загар ⁡ А загар ⁡ C — загар ⁡ B загар ⁡ D знак равно загар ⁡ ( А + C ) загар ⁡ ( А + B ) . {\ displaystyle {\ frac {\ tan {A} \ tan {B} — \ tan {C} \ tan {D}} {\ tan {A} \ tan {C} — \ tan {B} \ tan {D }}} = {\ frac {\ tan {(A + C)}} {\ tan {(A + B)}}}.}

Также,

загар ⁡ А + загар ⁡ B + загар ⁡ C + загар ⁡ D детская кроватка ⁡ А + детская кроватка ⁡ B + детская кроватка ⁡ C + детская кроватка ⁡ D знак равно загар ⁡ А загар ⁡ B загар ⁡ C загар ⁡ D . {\ displaystyle {\ frac {\ tan {A} + \ tan {B} + \ tan {C} + \ tan {D}} {\ cot {A} + \ cot {B} + \ cot {C} + \ cot {D}}} = \ tan {A} \ tan {B} \ tan {C} \ tan {D}.}

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым , так как tan 90 ° не определен.

Неравенства

Площадь

Если выпуклый четырехугольник имеет следующие друг за другом стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет условию

K ≤ 1 4 ( а + c ) ( б + d ) {\ Displaystyle К \ Leq {\ tfrac {1} {4}} (а + с) (б + г)} с равенством только для прямоугольника . {2}}

где К является площадь выпуклого четырехугольника с периметром L . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников с заданной площадью квадрат имеет самый короткий периметр.

Четырехугольник с заданной длиной сторон, имеющий максимальную площадь, является вписанным четырехугольником .

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь. Это прямое следствие того, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет условию

K знак равно 1 2 п q грех ⁡ θ ≤ 1 2 п q , {\ Displaystyle К = {\ tfrac {1} {2}} pq \ sin {\ theta} \ leq {\ tfrac {1} {2}} pq,}

где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда θ = 90 °.

Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

А п + B п + C п + D п ≥ А C + B D . {\ displaystyle AP + BP + CP + DP \ geq AC + BD.}

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника.

Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» получается из рассмотрения четырехугольника как пустого, но с равными массами в вершинах. «Боковой центроид» получается из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же.

«Центроид вершины» — это пересечение двух бимедианов . Как и в случае любого многоугольника, координаты x и y центра тяжести вершины являются средними арифметическими значениями x и y координат вершин.

«Центроид площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G _a , G _b , G _c , G _d — центроиды треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда «центроид площади» — это пересечение прямых G _a G _c и G _b G _d .

В общем выпуклом четырехугольнике ABCD , нет никаких природных аналогий к описанной окружности и ортоцентру в виде треугольника . Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O _a , O _b , O _c , O _d — центры описанной окружности треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно; и обозначим через H _a , H _b , H _c , H _d ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение прямых O _a O _c и O _b O _d называется квазиокружностью центра , а пересечение прямых H _a H _c и H _b H _d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике, в quasiorthocenter Н , «площадь центра тяжести» G и quasicircumcenter вывод является коллинеарен в этом порядке, и HG = 2 GO .

Также можно определить квазининоточечный центр E как пересечение прямых E _a E _c и E _b E _d , где E _a , E _b , E _c , E _d — центры девяти точек треугольников BCD , ACD. , ABD , ABC соответственно. Тогда Е является средней точкой из ОН .

Еще одна замечательная линия в выпуклом четырехугольнике без параллелограмма — это линия Ньютона , которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центром тяжести вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона ) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центром тяжести вершины. Эта линия примечательна тем, что содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей и центр тяжести (площади) в соотношении 3: 1.

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и до н.э. и AB и CD , соответственно, круги (PAB), (PCD), (QAD), и (QBC) проходят через общую точку М , называется Микель точка.

Для выпуклого четырехугольника ABCD, в котором E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω — окружность, проходящая через E и F, которая пересекает CB внутренне в M и DA внутренне. на N . Пусть CA встретиться снова на Q , L , и пусть DB встретиться снова на Q , K . Тогда верно: прямые NK и ML пересекаются в точке P, которая находится на стороне AB ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , расположенной на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD .

Другие свойства выпуклых четырехугольников

• Пусть со всех сторон четырехугольника нарисованы внешние квадраты. Сегменты, соединяющие центры противоположных квадратов, (а) равны по длине и (б) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Обеля .
• Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребра существует вписанный четырехугольник с такой же длиной ребра.
• Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.

Таксономия

Иерархическая таксономия четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями более высоких классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Повсюду используются инклюзивные определения.

Наклонить четырехугольники

Непланарный четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были получены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан, которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. Исторически термин « грубый четырехугольник» также использовался для обозначения скошенного четырехугольника. Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образуют (возможно, нерегулярный) тетраэдр , и, наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, где пара противоположных ребер удалена.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка

Калькулятор и теория регулярных n-угольников

Теоретические основы

Содержание

Определения

N-угольник — это многоугольник с N сторонами и N вершинами. N-угольник может быть выпуклым или вогнутым, как показано на следующем рисунке. Ни один из внутренних углов выпуклого многоугольника не превышает 180 °. Напротив, вогнутый многоугольник имеет один или несколько внутренних углов больше 180 °. Многоугольник называется правильным, если его стороны равны, а его внутренние углы равны .Если только стороны равны, недостаточно, чтобы гарантировать равные внутренние углы. Как показано на рисунке ниже, можно определить много возможных многоугольников с равными сторонами, но с разными внутренними углами. Эти многоугольники называются равносторонними. Частным случаем равносторонних многоугольников являются так называемые звездчатые многоугольники. Любой n-угольник, который не является правильным, называется неправильным.

Простейшим невырожденным n-угольником является треугольник с N = 3. N-угольники с N <3 вырождены. У двуугольника с N = 2 две вершины и два ребра.Два ребра совпадают в плоскости, в результате получается форма, которая выглядит как линейный сегмент между двумя вершинами. Моногон с N = 1 имеет одну вершину и одну сторону, соединяющую вершину с самим собой. В следующей таблице представлены установленные правила именования многоугольников в зависимости от количества ребер N:

Любой n-угольник с N> 3 может быть построен как набор треугольников.Фактически, количество треугольников, необходимое для построения n-угольника, всегда одинаково и равно N-2. Поскольку сумма внутренних углов в треугольнике постоянна и равна 180 ° (или \ pi), сумма внутренних углов n-угольника, выпуклого или вогнутого, также постоянна и равна: (N-2) \ pi .

Свойства правильных n-угольников

Далее в центре внимания будут правильные многоугольники. Все ребра правильного многоугольника и внутренние углы равны.

Симметрия

Правильный n-угольник имеет N осей симметрии. Все эти оси встречаются в одной точке — центре n-угольника. Если N — четное число, половина осей проходит через диагонально противоположные вершины, а остальные — через середины противоположных ребер. С другой стороны, если N нечетно, все оси симметрии проходят через вершину и середину ее противоположного ребра.

Внутренний угол и центральный угол

Правильный n-угольник по определению имеет равные внутренние углы.Поскольку их N, и учитывая, что их общая сумма равна (N-2) \ pi, как объяснялось ранее, можно сделать вывод, что каждый внутренний угол должен быть равен:

\ varphi = {(N-2) \ pi \ over N} = \ pi- \ frac {2 \ pi} {N}

Из последнего выражения видно, что внутренний угол \ varphi должен быть меньше \ pi радиан (или 180 °). Другими словами, правильный n-угольник не может быть вогнутым. Значение \ varphi асимптотически достигает \ pi, увеличивая число N.

Центральный угол \ theta — это угол внутри треугольника, который выделен на рисунке ниже.В частности, это угол между двумя ребрами треугольника, соединяющий центр n-угольника с двумя последовательными вершинами. Третье ребро в ребре n-угольника. Всего вокруг общего центра N центральных углов, поэтому каждый из них должен быть:

\ theta = {2 \ pi \ over N}

Остальные два угла в выделенном треугольнике равны \ varphi / 2 (прямая, проходящая через центр n-угольника и вершину, является осью симметрии).

Следует отметить, что внутренний и центральный углы являются дополнительными, так как их сумма равна \ pi:

\ varphi + \ theta = \ pi- \ frac {2 \ pi} {N} + {2 \ pi \ over N} = \ pi

Окружность и вписанная окружность

В любом правильном n-угольнике можно нарисовать окружность, проходящую через все вершины.Это описанный круг или описанный круг . Центр этого круга — центр n-угольника. Радиус описанной окружности R_c обычно называют радиусом описанной окружности .

Можно нарисовать еще одну окружность, проходящую через середины ребер n-угольника. Этот круг называется вписанным кругом или вписанным кругом . Радиус вписанной окружности R_i обычно обозначается как inradius . Вписанная окружность касается всех N ребер, а ее центр совпадает с центром описанной окружности.

Радиусы описанной окружности R_c и вписанной окружности R_i связаны с длиной ребер \ alpha. Эти отношения могут быть обнаружены с помощью прямоугольного треугольника со сторонами: радиус описанной окружности, внутренний радиус и половина ребра n-угольника, как показано на следующем рисунке. Используя базовую тригонометрию, мы можем найти:

\ begin {split} R_c & = \ frac {a} {2 \ sin {\ frac {\ theta} {2}}} \\ R_i & = \ frac {a} {2 \ tan {\ frac {\ theta} {2}}} \\ R_i & = R_c \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {split}

, где \ theta — центральный угол, а \ alpha — длина стороны.Подставив уравнение для центрального угла \ theta = {2 \ pi \ over N} в последние выражения, получим:

R_c = \ frac {a} {2 \ sin {\ pi \ over N}}

R_i = \ frac {a} {2 \ tan {\ pi \ over N}}

R_i = R_c \ cos {\ pi \ over N}.

Приведенные выше формулы показывают, что при увеличении значений N внутренний радиус R_i асимптотически стремится к описанному радиусу R_c (поскольку \ theta приближается к нулю, а косинус третьего уравнения приближается к единице). Можно визуализировать, что для больших N многоугольник выглядит очень круглым по форме, и поэтому его описанная и вписанная окружность более точно соответствуют форме n-угольника и, как следствие, друг с другом.

Площадь

Общая площадь правильного n-угольника может быть разделена на N одинаковых равнобедренных треугольников, как показано на рисунке ниже. Высота любого из этих треугольников, перпендикулярных ребру n-угольника a, действительно является радиусом вписанной окружности, поэтому его длина равна R_i. 2 \ \ sin \ left (2 \ pi \ over N \ right)

Чтобы добраться до последней формулы, тригонометрическое тождество \ sin Было использовано {2a} = 2 \ sin {a} \ cos {a}, а также связь между R_c и a, которая, как было показано ранее, является R_c = \ frac {a} {2 \ sin (\ pi / N )} и в перевернутом виде: a = 2R_c \ sin {\ pi \ over N}.

Периметр

Периметр любого N-стороннего правильного многоугольника — это просто сумма длин всех ребер:

P = N a.

Ограничивающая рамка

Ограничивающая рамка плоской формы — это наименьший прямоугольник, который полностью охватывает форму. Ограничивающая рамка определяется ее высотой h и шириной w. Для правильного n-угольника ширина параллельна ребру, а высота перпендикулярна ему. Однако универсальные формулы для этих размеров невозможны.Однако можно подобрать методику, основанную на значении N.

Высота

В зависимости от N высота h может быть равна:

• расстоянию между двумя серединами противоположных краев, если N равно
• расстояние между вершиной и серединой противоположного ребра, если N нечетно.

В любом случае высота h пересекает центр n-угольника. Следовательно:

h = \ left \ {\ begin {array} {ll} 2R_i & \ textrm {N четно} \\ R_c + R_i & \ textrm {N нечетно} \ end {array} \ right.

Ширина

В зависимости от N ширина w может быть равна либо:

• расстоянию между двумя серединами противоположных краев, либо
• расстоянию между двумя противоположными вершинами.

Если N — четное число, ширина проходит через центр многоугольника. Однако этого не происходит, если N — нечетное число. Следовательно, следует рассмотреть два случая:

N равно

В этом случае ширина проходит через центр многоугольника.Если N / 2 даже слишком, то ширина соединяет две противоположные вершины. С другой стороны, если N / 2 нечетно, ширина соединяет середины двух противоположных краев. Другими словами:

w = \ left \ {\ begin {array} {ll} 2R_i & \ textrm {N и N / 2 четные} \\ 2R_c & \ textrm {N четное, N / 2 нечетное} \ конец {массив} \ право.

N нечетно

В данном случае ширина соединяет две противоположные вершины, другими словами, это диагональ n-угольника. Поскольку N нечетно, по умолчанию N-1 должно быть четным.Однако в зависимости от четности (N-1) / 2 (нечетной или четной) диагональ, определяющая ширину w, может быть либо выше центра n-угольника, либо ниже его. В частности:

• , если (N-1) / 2 четное, диагональ w лежит выше центра
• , если (N-1) / 2 нечетное, диагональ w лежит ниже центра

Следующий рисунок иллюстрирует эти два подслучая. Вычисление w также становится простым, если найден угол \ tau в выделенном треугольнике. Это можно сделать, посчитав количество центральных углов \ theta, пока мы не достигнем вершины требуемой диагонали, начиная сверху.Это:

\ tau = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ frac {N-1} {4} \ theta & \ textrm {N нечетно, (N-1) / 2 четно} \\ \ pi- \ frac {N + 1} {4} \ theta & \ textrm {N нечетно, (N-1) / 2 нечетно} \ end {array} \ right.

Подставив \ theta = 2 \ pi / N, мы получим тот же результат для обоих подслучаев:

\ tau = \ frac {N-1} {2N} \ pi

Гипотенуза выделенного треугольника равна радиус описанной окружности R_c, а противоположный. Край, противоположный углу \ tau, составляет половину требуемой ширины. Следовательно, если количество правильных ребер n-угольника нечетное, ширину можно рассчитать по формуле:

w = 2R_c \ sin {\ tau} \ Rightarrow

w = 2R_c \ sin \ left (\ frac { N-1} {2N} \ pi \ right)

Примеры

Пример 1

Определите окружной радиус, внутренний радиус и площадь правильного 17-угольника с длиной ребра a = 6 дюймов.2 \ tan (\ pi / 9)} {9}} \ приблизительно 9,518 \ \ textrm {in}.

2. Правильный 12-угольник с заданной высотой

Поскольку N = 12, которое является четным числом, высота h 12-угольника равна:

h = 2R_i

Внутренний радиус R_i равен дана формула:

R_i = \ frac {a} {2 \ tan {\ pi \ over N}}

Следовательно:

h = 2 \ frac {a} {2 \ tan {\ pi \ over N} }} \ Rightarrow

a = h \ tan \ left (\ pi \ over N \ right) \ Rightarrow

a = 12 » \ tan \ left (\ pi \ over 12 \ right) \ приблизительно 3.215 \ \ textrm {in}.

3. Правильный 4-угольник с заданным радиусом описанной области

Радиус описанной окружности R_c правильного n-угольника связан с длиной его ребра a по следующей формуле:

R_c = \ frac {a} {2 \ sin {\ pi \ over N}}

Следовательно:

a = 2 R_c \ sin \ left (\ pi \ over N \ right) \

Из последнего уравнения мы можем вычислить требуемую длину ребра a, если мы замените R_c = 10 » и N = 4 для данного 4-угольника:

a = 2 \ times 10 » \ sin \ left (\ pi \ over 4 \ right) \ приблизительно 14.2} {6} \ frac {\ tan (\ pi / 6)} {\ tan (\ pi / 15)}} \ Rightarrow

a_6 \ приблизительно 41.69 \ \ textrm {in}

Обычный чит-угольник- лист

В следующей таблице включен краткий список основных формул, относящихся к правильному n-угольнику.

Обычные формулы n-угольника По calcresource.com
Окружной радиус:	R_c = \ frac {a} {2 \ sin {\ pi \ over N}}
Inradius:	R_i = \ frac {a} {2 \ tan {\ pi \ over N}}
Высота:	h = \ left \ {\ begin {array} {ll} 2R_i & \ textrm { N четно} \\ R_c + R_i & \ textrm {N нечетно} \ end {array} \ right.2 и A \ over R_c, где: R_c, радиус описанной окружности, R_i, внутренний радиус, a, длина кромки, A, площадь, ограниченная n-угольником Это другими словами , представленные значения коэффициентов в следующей таблице представляют соответствующие свойства (радиус описанной окружности, внутренний радиус, периметр и площадь) для n-угольника с a = 1 или R_c = 1 для последнего отношения. N φ (°) θ (°) Rc / α Ri / α A / α² A / Rc² 3 60 120 0.5774 0,2887 0,433 1,299 4 90 90 0,7071 0,5 1 2 5 108 72 0,8507 0,6882 1,72 2,378 6 120 60 1 0,866 2,598 2,598 7 128.6 51,43 1,152 1,038 3,634 2,736 8 135 45 1,307 1,207 4,828 2,828 9 140 40 1,462 1,374 6,182 2,893 10 144 36 1,618 1,539 7,694 2.939 11 147,3 32,73 1,775 1,703 9,366 2,974 12 150 30 1,932 1,866 11,2 3 13 152,3 27,69 2,089 2,029 13,19 3,021 14 154,3 25,71 2.247 2,191 15,33 3,037 15 156 24 2,405 2,352 17,64 3,051 16 157,5 22,5 2,563 2,563 20,11 3,061 20 162 18 3,196 3,157 31,57 3,09 24 165 15 3.831 3,798 45,57 3,106 30 168 12 4,783 4,757 71,36 3,119 40 171 9 6,373 6,373 127,1 3,129 50 172,8 7,2 7,963 7,947 198,7 3,133 60 174 6 9.554 9,541 286,2 3,136 100 176,4 3,6 15,92 15,91 795,5 3,14 200 178,2 ,8 31,8 3183 3,141 См. Также Диагональная формула (квадрат, прямоугольник, куб и многоугольник) // Tutors.com Формула диагонали для квадратов, прямоугольников, кубов и многоугольников Многоугольники — это формы нашего мира.Компьютерные и телевизионные экраны, двери и листы бумаги — все это многоугольники. Также полезны диагонали многоугольников. Узнайте, как мгновенно узнать, сколько диагоналей может иметь любой многоугольник, используя эту формулу: Количество диагоналей = n (n — 3) 2 Содержание Что такое простой многоугольник? Что такое диагональ? Диагональ многоугольника формулы Как найти диагональ прямоугольника Что такое простой многоугольник? Простой многоугольник — это любая двумерная (плоская) форма, состоящая только с прямыми сторонами, которые закрываются в пространстве, и со сторонами, которые не пересекаются друг с другом (если они пересекаются, это сложный многоугольник).Треугольник — это многоугольник. Дротик, воздушный змей, четырехугольник и звезда — все это многоугольники. Простые многоугольники могут быть вогнутыми или выпуклыми. Формула, которую мы будем использовать, работает для всех простых многоугольников. Что такое диагональ? Диагональ многоугольника — это линия, соединяющая вершину и несмежную вершину. Итак, у треугольника, самого простого многоугольника, нет диагоналей. Вы не можете провести линию от одного внутреннего угла к любому другому внутреннему углу, который также не является стороной треугольника. У следующего по простому четырехугольника две диагонали.Правильный или неправильный пятиугольник имеет пять диагоналей. В выпуклых простых многоугольниках диагонали всегда будут находиться внутри . Рассмотрим прямоугольную дверь. Вы можете провести линию от верхнего угла петли к нижнему противоположному углу. Вы также можете провести линию от нижнего угла петли до верхнего противоположного угла. Это единственные возможные диагонали. В вогнутых простых многоугольниках диагонали могут выходить на за пределы многоугольника , пересекать стороны и частично лежать на внешней стороне формы.Они по-прежнему диагонали. Дартс и звезды — типичные примеры вогнутых многоугольников, диагонали которых выходят за рамки их форм. Сделайте , а не , попытайтесь применить эти концепции и нашу диагональную формулу к сложным многоугольникам (многоугольникам с самопересекающимися линиями). Диагонали в реальной жизни Квадраты и прямоугольники по диагонали добавляют прочности конструкции, будь то стена дома, мост или высокое здание. Вы можете увидеть диагональные тросы, которые используются для фиксации мостов.Когда строятся дома, ищите диагональные распорки, которые удерживают стены ровно и точно. Книжные полки и строительные леса скреплены диагоналями. Чтобы кэтчер в софтболе или бейсболе выбросил бегуна на второй базе, кэтчер бросает по диагонали от домашней пластины до второй. Экран телефона или компьютера, на котором вы просматриваете этот урок, измеряется по диагонали. 21-дюймовый экран никогда не сообщает вам ширину и высоту; это 21 дюйм от одного угла до противоположного. Диагональ многоугольника формулы Чтобы найти все возможные диагонали простого многоугольника с несколькими сторонами, вы можете легко их пересчитать. Когда многоугольник немного усложняется, их подсчет может быть очень трудным. К счастью, существует простая формула, которая точно скажет вам, сколько диагоналей имеет многоугольник. Помните, что любая вершина (угол) соединена сторонами с двумя другими вершинами, поэтому эти соединения не могут считаться диагоналями. Эта вершина также не может соединиться с собой.Таким образом, для n сторон мы сразу уменьшим возможное количество диагоналей на три. Мы также не хотим пересчитывать одну и ту же диагональ дважды. У нашей двери, например, всего две диагонали; вы не учитываете переход от верхней петли к противоположной нижней и обратно. Вам придется разделить любой ответ на два. Диагональная формула Это оставляет нам элегантную формулу, где n — количество сторон (или вершин): Количество диагоналей = n (n — 3) 2 Как найти диагональ прямоугольника Проверьте эту формулу с чем-нибудь, что мы знаем: диагоналями прямоугольника.Прямоугольник имеет четыре стороны и четыре вершины. Количество диагоналей = n (n — 3) 2 = 4 (4–3) 2 = 4 (1) 2 = 42 = 2 Будьте скептичны! Попробуйте сделать пятиугольник (пять сторон): = 5 (5–3) 2 = 5 (2) 2 = 102 = 5 У пятиугольника всего пять диагоналей; наша формула работает. Будь действительно скептически! Попробуйте его для тетраконтакаи-гептагона, смехотворно длинного (но правильного) названия 47-угольника: = 47 (47 — 3) 2 = 47 (44) 2 = 2 0682 = 1,034 Доверяйте формуле.У 47-угольника 1034 диагонали. Эта формула работает каждый раз, чтобы точно сказать, сколько диагоналей можно построить внутри (или снаружи) любого простого многоугольника, независимо от того, является ли форма выпуклой или вогнутой. Диагональ прямоугольника по формуле Для прямоугольников l — длина прямоугольника, а b — высота прямоугольника. Диагональ прямоугольника = l2 + b2 Диагональ квадратной формулы Теперь давайте рассмотрим несколько различных формул диагонали, чтобы найти длину диагонали. Диагональ квадрата = a2 Где — сторона квадрата. Диагональ куба Формула Для куба диагональ находим с помощью трехмерной версии теоремы Пифагора / формулы расстояния: Диагональ куба = s2 + s2 + s2 Краткое содержание урока Вы узнали много нового об особо важных частях многоугольников, их диагоналях. Теперь вы знаете, как определить диагонали любого многоугольника, каковы некоторые примеры диагоналей из реальной жизни и как использовать формулу # of Diagonals = n (n — 3) 2, где n — количество сторон (или вершины) многоугольника.Кроме того, мы кратко рассмотрели диагональные форумы, чтобы найти длину диагонали в кубах, квадратах и ​​прямоугольниках. Следующий урок: Как найти периметр многоугольника Калькулятор правильных многоугольников Форма пятиугольника п = 5 5-сторонний многоугольник r = inradius (апофема) R = радиус окружности a = длина стороны n = количество сторон x = внутренний угол y = внешний угол A = площадь P = периметр π = пи = 3.1415926535898 √ = квадратный корень Использование калькулятора Калькулятор многоугольников Используйте этот калькулятор для вычисления свойств правильного многоугольника. Введите любую 1 переменную плюс количество сторон или имя многоугольника. Вычисляет длину стороны, внутренний радиус (апофему), радиус описанной окружности, площадь и периметр. Вычислите от обычного 3-угольника до обычного 1000-угольника. Единицы: Обратите внимание, что единицы длины показаны для удобства.На расчеты они не влияют. Единицы измерения указывают порядок результатов вычислений, например футы, футы 2 или футы 3 . Можно заменить любой другой базовый блок. Формулы правильного многоугольника Правильный многоугольник — это равносторонний и равносторонний многоугольник. Все стороны имеют одинаковую длину и расположены вокруг общего центра, так что все углы между сторонами также равны. Когда количество сторон n равно 3, это равносторонний треугольник, а когда n = 4 — это квадрат. Следующие формулы использовались для выполнения расчетов для этого калькулятора, где a = длина стороны, r = внутренний радиус (апофема), R = радиус описанной окружности, A = площадь, P = периметр, x = внутренний угол, y = внешний угол и n = число. сторон. Длина стороны a a = 2r tan (π / n) = 2R sin (π / n) Inradius r r = (1/2) детская кроватка (π / n) = R cos (π / n) Circumradius R R = (1/2) a csc (π / n) = r sec (π / n) Площадь А A = (1/4) na 2 детская кроватка (π / n) = nr 2 tan (π / n) Периметр P Внутренний угол x x = ((n-2) π / n) радиан = (((n-2) / n) x 180 °) градусов Внешний угол y y = (2π / n) радиан = (360 ° / n) градусов Выбранные полигоны 3 (1/3) π = 60 ° (2/3) π = 120 ° четырехугольник (квадрат) 4-сторонний многоугольник 4 (2/4) π = 90 ° (2/4) π = 90 ° пятиугольник 5-сторонний многоугольник 5 (3/5) π = 108 ° (2/5) π = 72 ° шестиугольник 6-сторонний многоугольник 6 (4/6) π = 120 ° (2/6) π = 60 ° семиугольник 7-сторонний многоугольник 7 (5/7) π = 900 ° / 7 = 128.57 ° (2/7) π = 360 ° / 7 = 51,43 ° восьмиугольник 8-сторонний многоугольник 8 (6/8) π = 135 ° (2/8) π = 45 ° девятиугольник 9-сторонний многоугольник 9 (7/9) π = 140 ° (2/9) π = 40 ° десятиугольник 10-сторонний многоугольник 10 (8/10) π = 144 ° (2/10) π = 36 ° ундекагон 11-сторонний многоугольник 11 (9/11) π = 1620 ° / 11 = 147.27 ° (2/11) π = 360 ° / 11 = 32,73 ° двенадцатигранник 12-сторонний многоугольник 12 (10/12) π = 150 ° (2/12) π = 30 ° трехугольник 13-сторонний многоугольник 13 (11/13) π = 1980 ° / 13 = 152.31 ° (2/13) π = 360 ° / 13 = 27,69 ° четырехугольник 14-сторонний многоугольник 14 (12/14) π = 2160 ° / 14 = 154.29 ° (2/14) π = 360 ° / 14 = 25,71 ° Список литературы Цвиллинджер, Даниэль (главный редактор). Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 31-е издание New York, NY: CRC Press, p. 323, 2003. Вайсштейн, Эрик В.»Правильный многоугольник.» Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Правильный многоугольник. Формула площади правильного многоугольника — Math Open Reference Формула площади правильного многоугольника — Math Open Reference Количество квадратных единиц, необходимое для полного заполнения правильного многоугольника.Приведены четыре различных способа расчета площади с формулой для каждого. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину для изменения размера многоугольника. Измените количество сторон. Площадь будет постоянно рассчитываться. Приведенные ниже формулы дают площадь правильного многоугольника. Для начала используйте тот, который соответствует тому, что вам дано. Они предполагают, что вы знаете, сколько сторон у многоугольника. Большинство из них требуют определенных знаний тригонометрии (не рассматриваются в этом томе, но см. Обзор тригонометрии). 1. Учитывая длину стороны. По определению, все стороны правильного многоугольника равны по длине. Если вам известна длина одной из сторон, площадь определяется по формуле: где s — длина любой стороны n — количество сторон tan — функция тангенса, вычисленная в градусах (см. Обзор тригонометрии) Чтобы узнать, как выводится это уравнение, см. Выведение формулы площади правильного многоугольника. 2. Заданный радиус (описанный радиус) Если вы знаете радиус (расстояние от центра до вершины, см. Рисунок выше): где r — радиус (окружной радиус) n — количество сторон sin — функция синуса, вычисленная в градусах (см. Обзор тригонометрии) Чтобы узнать, как выводится это уравнение, см. Выведение формулы площади правильного многоугольника. 3. Учитывая апофему (в радиусе) Если вы знаете апофема, или inradius, (перпендикулярное расстояние от центра до стороны.См. Рисунок выше), площадь определяется по формуле: где a — длина апофемы (inradius) n — количество сторон tan — тангенциальная функция, вычисленная в градусах (см. Обзор тригонометрии). Чтобы узнать, как выводится это уравнение, см. Выведение формулы площади правильного многоугольника. Неправильные многоугольники Найти площадь неправильного многоугольника сложнее, поскольку нет простых формул. Видеть Площадь неправильного многоугольника Другие полигоны Общие Типы полигонов Площадь различных типов полигонов Периметр различных типов полигонов Углы, связанные с многоугольниками Именованные полигоны (C) Открытый справочник по математике, 2011 г. Все права защищены. Геометрия — есть ли уравнение для описания правильных многоугольников? Репост с PolymathProgrammer.com, мой ответ на мой собственный первоначальный запрос. Сгенерировано в основном самостоятельно после некоторой первоначальной помощи друга (Джейсон Шмурр) и моего отца (Рассел Гмиркин) Мне кажется, я решил свой собственный запрос. Ниже приведены функции, которые при построении графиков в полярных координатах отображают красивые многоугольники. На самом деле, у меня есть 3 версии (6, если вы считаете поворот фактором; чтобы выровнять вершину или середину стороны с помощью $ \ theta = 0 $).Один с описанным радиусом = 1 (при вершинах $ \ to \ infty $ многоугольники расширяются наружу к описанной окружности), один с апофемой = 1 (при вершинах $ \ to \ infty $ многоугольники схлопываются внутрь к вписанной окружности) и один с середина между радиусом описанной окружности & apothem = 1 (как вершины $ \ to \ infty $, как максимумы, так и минимумы, таким образом описанные и вписанные круги, схлопываются к этому «радиусу средней точки»). Мне было бы интересно узнать, есть ли у этого подхода, описывающего радиус многоугольника как периодическую функцию, какой-либо прецедент (делал ли кто-нибудь еще это или я первый)? Я работал над этой идеей в течение некоторого времени (время от времени годами), но совсем недавно преодолел некоторые препятствия с небольшой помощью друга и моего отца.Тем не менее, большая часть беготни принадлежала мне. Относительно окончательная форма (ы) выглядит следующим образом: (n-угольник, окружной радиус = 1, без вращения) 1 / (((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [(v * x) / 4]] + ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (Pi / 2)]] - ( (Секунда [пи / v] -1) / (Секунда [Пи / 4] -1)) + 1) (n-угольник, окружной радиус = 1, повернутый $ — \ pi / 4 $) 1 / (((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (Pi / 4)]] + ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (3Pi / 4)]] - ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) + 1) (n-угольник, функция с центром вокруг единичной окружности, без вращения) ((Sec [Pi / v] +1) / 2) / (((Sec [Pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4 ] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4)]] + ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [(( v * x) / 4) - (Pi / 2)]] - ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) + 1) (n-угольник, функция сосредоточена вокруг единичной окружности, повернута на $ — \ pi / 4 $) ((Sec [Pi / v] +1) / 2) / (((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (Pi / 4)]] + ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (3Pi / 4)]] - ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1 )) + 1) (n-угольник, апофема = 1, без вращения) сек [Pi / v] / (((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [( v * x) / 4]] + ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (Pi / 2 )]] - ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) + 1) (n-угольник, апофема = 1, повернутая $ — \ pi / 4 $) сек [Pi / v] / (((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1 )) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (Pi / 4)]] + ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) Abs [Cos [((v * x) / 4) - (3Pi / 4)]] - ((Sec [pi / v] -1) / (Sec [Pi / 4] -1)) + 1) Не знаю, упрощаются ли они вообще до чего-то менее сложного… Даже если нет, то они красавицы! Примеры: 3-угольный: здесь 4-угольник: здесь 5-угольник: здесь Если это уникальное решение, и я первый к нему, я отправляю их как функцию (-и) радиуса многоугольника Гмиркина (или какое-нибудь подходящее изящно звучащее имя, которое не слишком громоздко).* Улыбка * Хех. Я могу официально оформить их для публикации в какой-то момент, когда прояснятся некоторые предыдущие обязательства, при условии, что они ранее не публиковались или какая-то прямо коррелированная функция уже была опубликована в другом месте. (Если да, то я хотел бы знать, когда, где и кем; ради академического любопытства.) Я считаю, что подобная функция существует для описания трехмерных многогранников с некоторым описанием (ями). Хотя я еще даже не пробовал такой кейс и, вероятно, пока буду придерживаться 2D-кейсов.Я также могу вам сказать, что если вы измените фазовый сдвиг знаменателя [Abs [Cos []]] члена на разные величины (хотя и не на то и другое на несколько кратных $ \ pi / 4 $, $ \ pi / 2 $) и т. д.), вы также можете воспроизводить прямоугольники, равнобедренные треугольники и т. д. В некоторых случаях вы также можете создавать формы ромбов, изменяя некоторые другие параметры. Как я и надеялся, это на удивление надежное решение. Господь знает, что мне потребовалось несколько лет ложных запусков, чтобы найти правильное сочетание функций. Тем не менее, я многому научился в процессе, многое из того, что помогло мне обобщить на все полигоны из квадратного случая, который друг решил по моей просьбе неделю или две назад. Надеемся, что это интересное, уникальное новое решение, жизнеспособное и заметное. (Можно надеяться!) Извините, пост длинноват …;) Best, ~ Михаил Гмиркин Изменить: Извините. Слегка выскочил из пистолета. Я отказываюсь от приведенных выше уравнений. По просьбе кого-то с другого сайта я проверил несколько точек данных в Wolfram Alpha. Хотя кажется, что он работает для случая Square (где коэффициенты и корректирующий член в основном отменяются), он не работает для других случаев, но немного не работает.Думаю, у меня неверные коэффициенты. Придется еще немного покопаться в математике, чтобы увидеть, возможно ли получить технически правильное точное решение. Графики были настолько близки, что заставили меня думать, что они точны для всех случаев. Мы свяжемся с вами, если / когда получу технически правильное решение. «А пока … я все еще верю, что существует допустимая функция, поскольку случай Square технически верен @ 1 / (Abs [Sin (x)] + Abs [Cos [x]]]) или 1 / (Abs [Cos [x]] + [Abs [Cos [x- (Pi / 2)]]]) .Просто нужен технически правильный коэффициент … буду работать над ним, так как у меня есть время. Но пока, черт возьми, неправильные версии очень близки! ; o) Достаточно, чтобы обмануть большинство людей (включая меня, видимо). Геометрия — Как площадь правильного n-угольника сравнивается с площадью нерегулярного n-угольника? $ A = 1/2 b * h $ — это , а не формула для площади правильного треугольника. Это формула для всех треугольников, которую можно неэффективно применить к правильному треугольнику.2 $. $ A = bh $ — это площадь прямоугольника, частным случаем которого является квадрат с $ s = b = h $. Прямоугольник сам по себе является частным случаем трапеции с формулой: $ A = 1/2 * (b_1 + b_2) * h $. Формула прямоугольника не применима к неправильному четырехугольнику. $ A = b * h $? Какая база? Как рассчитать высоту? Если мы произвольно выберем основу и большую высоту из двух оставшихся вершин, четвертая вершина может быть там, где она выберет, и область может выпирать и углубляться и не может быть определена только тремя другими вершинами.(В прямоугольнике или трапеции мы ограничены условием, что два основания параллельны.) Что приводит к проблеме с вашим вопросом. Формула для обычного n-угольника предполагает равные стороны и равные углы и, следовательно, будет иметь только две переменные: $ n $ количество сторон и некоторый коэффициент масштабирования, обычно сторона n-угольника, но иногда он передается через радиус, а иногда и аритингумми — перпендикуляр от стороны к центру. С неправильным n-угольником, у которого стороны, радиусы, высота и т. Д.n 1/2 (s_i * h_i) $, где $ s_i $ — сторона $ i $, а $ h_i $ — длина перпендикуляра расширенного $ s_i $ до взаимно произвольной точки внутри n-угольника. (т.е. $ A = \ text {сумма площадей треугольников, полученных в результате разрезания n-угольника на n-треугольники} $.) Формула для правильного n-угольника — это просто специальное приложение этой общей формулы с предположением, что все стороны и углы (и, следовательно, площадь всех треугольников) равны. ===== Постскрипт: Обычно формула для неправильного n-угольника требует $ n-1 $ переменных; первая вершина может быть зафиксирована, а оставшиеся $ n-1 $ вершин предоставляют оставшуюся информацию. В треугольнике с 3-мя сторонами. Фиксированная вершина $ v_1 $ и вторая вершина $ v_2 $ определяют длину основания $ b $. Третья вершина, $ v_3 $, определяет высоту. В прямоугольнике $ v_1 $ и $ v_2 $ определяют основание, а $ v_3 $ определяет высоту. $ v_4 $ зависит от $ v_1, v_2, $ и $ v_3 $ в ограничении, что стороны должны быть перпендикулярны, поэтому $ v_4 $ является лишним. В трапеции или неправильном четырехугольнике это положение необходимо (хотя в трапеции его вертикальное положение не изменяется, только его поперечное положение). Для правильных n-угольников регулярность гарантирует, что у вас есть только две определенные вершины, все оставшиеся $ n-2 $ вершины полностью зависят от этих двух. Геометрия — Сторона квадрата, вписанного в правильный многоугольник Эта задача (первая часть) представляет собой простую версию проблемы, поставленной около ста лет назад, которая называется проблемой вписанного квадрата или проблемой квадратного колышка. В общем, эта проблема до сих пор не решена. В наших интересах, чтобы правильные многоугольники были выпуклыми.Для удобства мы можем предположить, что вершины нашего правильного $ n $ -угольника являются равноотстоящими точками на единичной окружности вокруг начала координат: $$ (1,0), \; (\ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {n} \ right), \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {n} \ right)) , \; \ ldots (\ cos \ left (\ frac {2 (n-1) \ pi} {n} \ right), \ sin \ left (\ frac {2 (n-1) \ pi} {n} \ right) ) $ Случай: n делится на четыре Проще всего «вычислить», когда $ n $ кратно четырем, например правильный восьмиугольник, упомянутый в Вопросе. Мы можем выбрать любую точку на периметре правильного $ n $ -угольника и вращаться вокруг многоугольника через $ n / 4 $ ребер, чтобы найти последующие точки (пока мы не вернемся к исходной выбранной точке).Выбранные таким образом четыре точки образуют квадрат. Если $ (x, y) $ — это точка, изначально выбранная на $ n $ -угольнике (где $ 4 | n $), а центр многоугольника находится в начале координат, то следующие точки появляются с поворотом на прямой угол, если по: $$ (x, y), \; (y, -x), \; (- x, -y), \; (- y, x) $$ Максимальная площадь достигается в этом случае, если начальная точка $ (x, y) $ выбрана в качестве вершины (центрированного в начале координат) правильного $ n $ -угольника. Случай: n делится на два, но не на четыре Если $ n $ четно, но не кратно $ 4 $, то правильный $ n $ -угольник, описанный нашими вершинами выше, является симметричным относительно оси $ x $ и оси $ y $.Обратите внимание, что хотя вершины $ (1,0) $ и $ (- 1,0) $ находятся на оси $ x $, ось $ y $ пересекает многоугольник в средних точках двух параллельных ребер. Нас интересуют точки пересечения $ y = x $ с многоугольником. Вершины нашего многоугольника, которые «охватывают» эту линию, соответствуют (в первом квадранте) углам: $$ \ frac {2 \ pi k} {n} \ lt \ frac {\ pi} {4} \ lt \ frac {2 \ pi (k + 1)} {n} $$ Проще говоря, это означает $ k \ lt n / 8 \ lt k + 1 $, поэтому $ k = \ lfloor n / 8 \ rfloor $. Уравнение для кромки, проходящей через эти точки: $$ (\ cos \ left (\ frac {2k \ pi} {n} \ right), \ sin \ left (\ frac {2k \ pi} {n} \ right)), \; (\ cos \ left (\ frac {2 (k + 1) \ pi} {n} \ right), \ sin \ left (\ frac {2 (k + 1) \ pi} {n} \ right)) $$ можно затем решить с помощью $ y = x $, чтобы определить точку пересечения $ (r, r) $ на многоугольнике. Затем углы задают вписанный квадрат: $$ (r, r), \; (- r, r), \; (- r, -r), \; (r, -r) $$ , которые принадлежат многоугольнику в силу его симметрии относительно оси $ x $ и оси $ y $. Случай: n нечетное (не делится на два) TBD . ← Предыдущая запись Следующая запись → Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт