Объем по площади: Объем, Площадь поверхности, формулы объема

2 \cdot h$

Площадь боковой поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$

Площадь полной поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$

---

Тест: объём и площадь поверхности

Формулы объема и площади поверхности. Призма, пирамида

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Иногда в задаче  надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

---

Как найти Объем Параллелепипеда?

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения объема (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см3), кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, вина в бочке, земли в клумбе.

Два свойства объёма У равных тел равные объёмы. Если два тела одинаковы, и имеют равное количество единиц измерения — их объёмы равны. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы. Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Давайте вспомним, какие виды параллелепипедов бывают.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань которой называется параллелограмм.

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а его боковые грани — это параллелограммы.

Какие бывают призмы:

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты: V = a * b * h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

a	длина параллелепипеда
b	ширина параллелепипеда
h	высота параллелепипеда
P (осн)	периметр основания
S (осн)	площадь основания
S (бок)	площадь боковой поверхности
S (п. п.)	площадь полной поверхности
V	объем

Пример 1. Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 9 см, 6 см, 3 см.

a = 9 см

b = 6 см

h = 3 см

V = a * b * h

V = 9 * 6 * 3 = 162 см3.

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 162 см3.

Следствие 1 Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V = S осн * h

Из этого следствия выведем формулу нахождения площади основания параллелепипеда.

S осн = V : h

Пример 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объем равен 82 см3, а высота 8 см.

V = 82 см3

h = 8 см

V = S осн * h

S осн = V : h

S осн = 82 см3: 8 см = 10,25 см2.

Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 10,25 см2.

Следствие 2 Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. V = S осн * h

Пример 3. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Боковое ребро равно 5. Найдем объем призмы.

V = S * h = 12* a * b * h

a = 6

b = 8

h = 5

V = 1/2 * 6 * 8 * 5 = 120 см3.

Ответ: объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 120 см3.

Вычисление площади

Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.

Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.

Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания.

• S п.п. = 2 (ab + ac + bc)

Пример 4. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.

S п.п. = 2 (ab + ac + bc)

S п.п. = 2(6 * 4 + 6 * 3 + 4 * 3) = 2 * (24 + 18 + 12) = 2 * 54 = 108 см2.

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см2.

Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно. В интернете есть много онлайн-калькуляторов, которые помогут вам быстро вычислить объем:

Задачи на самопроверку

Пользоваться онлайн-калькуляторами можно, когда вы уже натренировались в решении задачек и с закрытыми глазами можете вычислить объем любого параллелепипеда. Давайте разберем еще несколько примеров.

Задачка 1. Найдите объём параллелепипеда со сторонами 18 см, 10 см, 7 см.

Как решаем:

a = 18 см

b = 10 см

h = 7 см

Формула нахождения объема параллелепипеда:

V = a * b * h

Подставляем наши числа:

V = 18 * 10 * 7 = 1260 см3.

Ответ: объём параллелепипеда = 1260 см3.

Задачка 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объём = 120 см3, а высота — 15 см.

Как решаем:

V = 120 см3

h = 15 см

V = S осн * h

S осн = V : h

S осн = 120 см3: 15 см = 8 см2.

Ответ: площадь основания параллелепипеда = 8 см2.

Задачка 3. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина основания = 30 сантиметров, ширина = 12 см, а высота = 5 см.

Как решаем:

S п.п. = 2 (ab + ac + bc)

S п.п. = 2(30 * 12 + 30 *5 + 12 * 5) = 2 * (360 + 150 + 60) = 2 * 570 = 1140 см2.

Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда = 1140 см2.

Пусть все необходимые формулы будут под рукой в нужный момент. Сохраняйте табличку-шпаргалку на гаджет или распечатайте ее и храните в учебнике.

V параллелепипеда	V = a * b * h
	V = S осн * h
S боковой поверхности	S б.п. = 2(ac + bc)
S полной поверхности	S п.п. = 2 (ab + ac + bc)
Диагональ параллелепипеда	d2 = a2+ b2 + c2

Вычисление формулы объема и площади в Excel

Программа Excel является лучшим калькулятором. Мы привыкли использовать для расчетов традиционные бухгалтерские калькуляторы. Все их возможности поддерживает программа Excel. Более того, он имеет неоспоримые преимущества.

В некоторых формулах можно выполнить только одно математическое вычисление при калькуляционных расчетах. В таких случаях, если меняются данные нужно изменить формулу. 3 (A2 – это ссылка на ячейку).

В ячейке A2 будем вводить разные радиусы и после каждого ввода в ячейке B2 будем получать результат вычисления объема сфер соответствующих своим радиусам.

Примечание. Если вы используете в Excel многократные вычисления или формулы содержащие ссылки на ячейки в качестве переменных значений, то всегда подписывайте каждую ячейку с входящими данными и формулами. Это позволит избежать ошибок и легко читать значения или результаты вычисления формул.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

      Введем следующие обозначения:

      Используя эти обозначения, составим таблицу с формулами для вычисления объемов, площадей боковой поверхности и площадей полной поверхности различных видов призм.

Призма	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Куб		V = a3, Sбок = 4a2, Sполн = 6a2, где  a – длина ребра куба.
Прямоугольный параллелепипед		V = abc, Sбок = 2ac + 2bc, Sполн = 2ac + 2bc +2ab, где  a, b  – длины ребер основания параллелепипеда, c — высота параллелепипеда.
Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ		Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, Sбок = 2ah + 2bh, Sполн = 2ab sin φ + 2ah +2bh, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.
Произвольный параллелепипед		Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, V = Sперпс, Sбок = Pперпс, Sполн = 2ab sin φ + Pперпс, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, c – длина бокового ребра параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.
Прямая призма		V = Sоснh, Sбок = Pоснh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где h — высота прямой призмы.
Правильная n – угольная призма		(см. раздел «правильные многоугольники»), V = Sоснh, Sбок = Pоснh = anh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где a – длина ребра основания правильной призмы, h — высота правильной призмы.
Произвольная призма		V = Sоснh, V = Sперпl, Sбок = Pперпl, Sполн = 2Sосн + Sбок, где l – длина бокового ребра призмы, h — высота призмы.

Куб

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = a3, Sбок = 4a2, Sполн = 6a2, где  a  – длина ребра куба.

Прямоугольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = abc, Sбок = 2ac + 2bc, Sполн = 2ac + 2bc +2ab, где  a, b  – длины ребер основания параллелепипеда, c — высота параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, Sбок = 2ah + 2bh, Sполн = = 2ab sin φ + 2ah + 2bh, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, V = Sперпс, Sбок = Pперпс, Sполн = = 2ab sin φ + Pперпс, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, c – длина бокового ребра параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.

Прямая призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = Sоснh, Sбок = Pоснh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где h — высота прямой призмы.

Правильная n – угольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: (см. раздел «правильные многоугольники»), V = Sоснh, Sбок = Pоснh = anh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где a – длина ребра основания правильной призмы, h — высота правильной призмы.

Произвольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = Sоснh, V = Sперпl, Sбок = Pперпl, Sполн = 2Sосн + Sбок, где l – длина бокового ребра призмы, h — высота призмы.

      Замечание 1. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

      Замечание 2. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы можно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Площадь поверхности и объём призмы — урок. Геометрия, 11 класс.

Площадь боковой поверхности прямой призмы Sбок.=Pосн.⋅H,

где \(H\) — высота призмы.

 

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней призмы.

Она состоит из площади боковой поверхности и площади оснований

Sполн.=Sбок.+2⋅Sосн.

 

Все грани куба — квадраты, поэтому рациональнее использовать формулу

Sполн. пов. куба=6⋅a2.

  

Объём прямой призмы находится по формуле:

V=Sосн.⋅H.

 

Для прямоугольного параллелепипеда можно использовать формулу \(V = abc\) , где \(a\), \(b\), \(c\) — измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

 

Для куба используется формула V=a3, где \(a\) — ребро куба.

 

Основанием призмы может быть любой \(n\)-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

 

Важные формулы нахождения площади \(n\)-угольников

  

Квадрат	a2
Прямоугольник	a⋅b
Ромб	a⋅b⋅sinα	a⋅h	d1⋅d22
Параллелограмм	a⋅b⋅sinα	a⋅h
Равносторонний треугольник	a234
Прямоугольный треугольник	a⋅b2	a⋅h3
Произвольный треугольник	a⋅b⋅sinα2	a⋅h3	p⋅p−ap−bp−c
Трапеция	a+b2⋅h

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Формула нахождения площади правильного шестиугольника

 

Правильный шестиугольник состоит из \(6\) правильных треугольников.   Sправ. ш.=6⋅a234, где \(a\) — сторона шестиугольника

Источники:

Рис. 1. Правильный шестиугольник, © ЯКласс. 

Площади и объемы

Площади

История нахождения площадей фигур начинается еще с древнего Вавилона. Уже тогда вычисляли площади прямоугольника, а древние египтяне пользовались методами вычисления площадей различных фигур, похожими на наши методы.

В своих книгах «Начала» известный древнегреческий математик Евклид описывал достаточно большое число способов вычисления площадей многих геометрических фигур. Первые рукописи на Руси, в которых содержатся геометрические сведения, были написаны в $XVI$ веке. В них описаны правила нахождения площадей фигур различных форм.

Сегодня с помощью современных методов можно найти площадь любой фигуры с большой точностью.

Рассмотрим одну из простейших фигур — прямоугольник — и формулу нахождения его площади.

Формула площади прямоугольника

Рассмотрим фигуру (рис. 2.\]

Объемы

С развитием торговли и строительства еще во времена древних цивилизаций появилась необходимость в нахождении объемов. В математике существует раздел геометрии, который занимается изучением пространственных фигур, называемый стереометрией. Упоминания об этом отдельном направлении математики встречались уже в $IV$ веке до н.э.

Древними математиками был выведен способ вычисления объема несложных фигур — куба и параллелепипеда. Все сооружения тех времен были именно такой формы. Но в дальнейшем были найдены способы вычисления объема фигур более сложных форм.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если наполнить формочку влажным песком и потом перевернуть, то получим объемную фигуру, которая характеризуется объемом. Если сделать таких фигур несколько с помощью одной и той же формочки, то получатся фигуры, которые имеют одинаковый объем. Если наполнить формочку водой, то объем воды и объем фигуры из песка также будут равными.

Рисунок 5. 3.\]

Отсюда и название куб числа $a$.

Периметр, площадь и объем

1. В периметр из многоугольник (или любая другая замкнутая кривая, например окружность) — это расстояние вокруг внешней стороны.

2. В площадь из простая замкнутая плоская кривая — это количество внутреннего пространства.

3. В объем из твердый 3 D shape — это количество перемещаемого им пространства.

Некоторые формулы для общих 2 -мерные плоские фигуры и 3 -мерные тела приведены ниже.Ответов один, два, или три измерения; периметр измеряется в линейные единицы , площадь измеряется в квадратные единицы , и объем измеряется в кубические единицы .

Таблица 1 . Формулы периметра
Форма	Формула	Переменные
Квадрат	п знак равно 4 s	s длина стороны квадрата.
Прямоугольник	п знак равно 2 L + 2 W	L и W — длины сторон прямоугольника (длина и ширина).
Треугольник	а + б + c	а , б , и c — длины сторон.
	п знак равно а + б + а 2 + б 2	а и б длины двух катетов треугольника
Круг		р это радиус и d это диаметр.

Таблица 2. Формулы площади
Форма	Формула	Переменные
Квадрат		s длина стороны квадрата.
Прямоугольник		L и W — длины сторон прямоугольника (длина и ширина).
Треугольник	А знак равно 1 2 б час	б и час основание и высота
Треугольник	А знак равно s ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) куда s знак равно а + б + c 2	а , б , и c длины сторон и s полупериметр
Параллелограмм		б длина основания и час это высота.
Трапеция	А знак равно б 1 + б 2 2 час	б 1 и б 2 — длины параллельных сторон и час расстояние (высота) между параллелями.
Круг	А знак равно π р 2	р это радиус.

Таблица 3. Формулы объема
Форма	Формула	Переменные
Куб		s длина стороны.
Правая прямоугольная призма		L это длина, W это ширина и ЧАС это высота.
Призма или цилиндр		А площадь основания, час это высота.
Пирамида или конус		А площадь основания, час это высота.
Сфера		р это радиус.

Определение объема и площади поверхности куба

Результаты обучения

• Найдите объем и площадь поверхности куба

Куб — это твердое тело прямоугольной формы, длина, ширина и высота которого равны. См. Раздел «Объем и площадь поверхности куба» ниже.{2} [/ латекс].

Объем и площадь куба

Для любого куба со сторонами длиной [латекс] с [/ латекс],

пример

Куб [латекс] 2,5 [/ латекс] дюйма с каждой стороны. Найдите его 1. объем и 2. площадь поверхности.

Решение
Шаг 1 одинаков для 1. и 2., поэтому мы покажем его только один раз.

Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и пометьте его данной информацией.{3} [/ латекс] [латекс] V = 15,625 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: Проверьте свою работу.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Объем [латекс] 15,625 [/ латекс] кубических дюймов.

2.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Площадь поверхности куба
Шаг 3. Имя.{2} [/ латекс] [латекс] S = 37,5 [/ латекс]
Шаг 6. Чек: Чек остается на ваше усмотрение.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь поверхности [латекс] 37,5 [/ латекс] квадратных дюймов.

пример

Кубик блокнота размером [латекс] 2 [/ латекс] дюйма с каждой стороны. Найдите его 1. объем и 2. площадь поверхности.

Показать решение

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и пометьте его данной информацией.

1.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	объем куба
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	let V = объем
Шаг 4. Перевести. Напишите соответствующую формулу.{3} [/ латекс] [латекс] V = 8 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: Убедитесь, что вы выполнили расчеты правильно.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Объем [латекс] 8 [/ латекс] кубических дюймов.

2.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Площадь поверхности куба
Шаг 3.{2} [/ латекс] [латекс] S = 24 [/ латекс]
Шаг 6. Чек: Чек остается на ваше усмотрение.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь поверхности [латекс] 24 [/ латекс] квадратных дюймов.

Определение объема и площади цилиндра

Результаты обучения

• Найдите объем и площадь цилиндра

Если вы когда-нибудь видели банку газировки, вы знаете, как выглядит баллон.Цилиндр — это сплошная фигура с двумя параллельными кругами одинакового размера вверху и внизу. Верх и низ цилиндра называются основаниями. Высота [латекс] h [/ латекс] цилиндра — это расстояние между двумя основаниями. Для всех цилиндров, с которыми мы здесь будем работать, стороны и высота [латекс] h [/ латекс] будут перпендикулярны основанию.

Цилиндр имеет два круглых основания одинакового размера. Высота — это расстояние между основаниями.

Прямоугольные твердые тела и цилиндры в чем-то похожи, потому что оба имеют два основания и высоту.{2} [/ латекс]. На изображении ниже показано, как формула [латекс] V = Bh [/ latex] используется для прямоугольных твердых тел и цилиндров.

Увидев, как цилиндр похож на прямоугольное твердое тело, можно легче понять формулу для объема цилиндра.

Чтобы понять формулу площади поверхности цилиндра, представьте банку с овощами. У него три поверхности: верхняя, нижняя и часть, образующая боковые стороны банки. Если аккуратно отрезать этикетку со стороны банки и развернуть ее, вы увидите, что это прямоугольник.См. Изображение ниже.

Разрезав и развернув этикетку банки с овощами, мы видим, что поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник. Длина прямоугольника — это окружность основания цилиндра, а ширина — это высота цилиндра.

Расстояние по краю банки — это длина окружности основания цилиндра, а также длина [латекс] L [/ латекс] прямоугольной этикетки. Высота цилиндра равна ширине [латекса] W [/ латекса] прямоугольной этикетки.{2} +2 \ pi rh [/ латекс]

Объем и площадь цилиндра

Для цилиндра радиусом [латекс] r [/ латекс] и высотой [латекс] h: [/ латекс]

пример

Цилиндр имеет высоту [латекс] 5 [/ латекс] сантиметров и радиус [латекс] 3 [/ латекс] сантиметра. {2} h [/ латекс]

[латекс] V \ приблизительно \ влево (3.{2} \ cdot 5 [/ латекс]

Шаг 5. Решить. [латекс] V \ около 141,3 [/ латекс] Шаг 6. Чек: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты. Шаг 7. Ответьте на вопрос. Объем приблизительно [латекс] 141,3 [/ латекс] кубических дюймов.

2.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.{2} +2 \ влево (3,14 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) 5 [/ латекс]
Шаг 5. Решить.	[латекс] S \ около 150,72 [/ латекс]
Шаг 6. Чек: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь поверхности [латекс] составляет приблизительно 150,72 [/ латекс] квадратных дюймов.

пример

Найдите 1.объем и 2. площадь поверхности банки соды. Радиус основания составляет [латекс] 4 [/ латекс] сантиметра, а высота [латекс] 13 [/ латекс] сантиметров. Предположим, банка имеет форму цилиндра.

Показать решение

Решение

Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и пометьте его данной информацией.

1.
Шаг 2.{2} \ cdot 13 [/ латекс]
Шаг 5. Решить.	[латекс] V \ приблизительно 653,12 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: Мы оставляем это на ваше усмотрение.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Объем [латекс] примерно 653,12 [/ латекс] кубических сантиметров.

2.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.{2} +2 \ влево (3,14 \ вправо) \ влево (4 \ вправо) 13 [/ латекс]
Шаг 5. Решить.	[латекс] S \ приблизительно 427,04 [/ латекс]
Шаг 6. Чек: Мы предоставляем вам возможность проверить ваши расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Площадь поверхности [латекс] составляет приблизительно 427,04 [/ латекс] квадратных сантиметров.

Различие между площадью и объемом

Площадь

Чтобы узнать, сколько ковра вам нужно, вам нужно найти площадь пола в вашей спальне, а не объем. Площадь — это двумерное измерение поверхности объекта. В нашем случае мы измеряем поверхность пола вашей спальни. Поскольку он двумерный, мы будем использовать только два измерения, чтобы найти площадь.

Допустим, ваша спальня имеет форму прямоугольника. Чтобы найти площадь спальни, вам просто нужно умножить длину комнаты на измерение ширины комнаты. Если ваша комната 25 футов в длину и 18 футов в ширину, просто умножьте 25 футов на 18 футов, чтобы получить площадь 450 футов в квадрате.Это означает, что вашему мужу нужно купить 450 квадратных футов ковра, чтобы покрыть пол в вашей новой спальне.

Площадь спальни

Что касается площади, то следует отметить, что единицы будут возведены в квадрат. Это потому, что вы всегда будете умножать два измерения вместе. Точно так же, как x , умноженное на x , даст вам x 2, футы, умноженные на футы, дадут вам ft2. Чтобы убедиться, что вы делаете это правильно, убедитесь, что ваши начальные измерения указаны в тех же единицах!

Том

Ваш глупый муж сначала попросил вас найти объем спальни. Объем — это трехмерное измерение того, сколько места занимает объект. Если бы мы измерили объем вашей спальни, нам потребовалось бы три разных измерения. Мы уже знаем, что длина 25 футов и ширина 18 футов, но нам также нужна высота. Если высота 20 футов, мы можем умножить все три измерения вместе, чтобы получить объем в 9000 футов в кубе. Это означает, что ваша спальня занимает 9000 кубических футов! Бесполезен для коврового покрытия пола.

Объем спальни

Обратите внимание, что единицы измерения объема всегда будут кубическими.Точно так же, как x , умноженное на себя три раза, даст x 3, так и футы, умноженные сами на себя три раза, дадут фут3.

Зависимость площади от объема в кругах и сферах

Давайте посмотрим на некоторые другие формы: круги и сферы. Одно только название подскажет, следует ли рассчитывать объем или площадь объекта. В то время как оба являются круглыми объектами, круг — это двухмерная фигура, а сфера — трехмерная фигура. Если вы держите бейсбольный мяч в реальной жизни, вы держите сферу.Если вы рисуете бейсбольный мяч на листе бумаги, вы рисуете круг.

Поскольку круг двумерный, мы можем вычислить только его площадь. Допустим, у нас есть круг радиусом 4 дюйма. Чтобы найти его площадь, мы умножим число пи (3,14) на квадрат радиуса. Другими словами, мы умножим 3,14 на 4 дюйма на 4 дюйма. Это даст нам площадь 50,24 дюйма в квадрате.

Теперь посмотрим на сферу.Скажем, у нас есть сфера с таким же радиусом 4 дюйма. На этот раз мы хотим найти объем, потому что он трехмерный. Для этого умножим 4/3 на число пи (3.14) на радиус в кубе. Другими словами, у нас есть 4/3 x 3,14 x 4 дюйма x 4 дюйма x 4 дюйма. Это дает нам объем 267,95 дюйма в кубе (округленный до ближайшей десятой).

Резюме урока

Площадь и объем НЕ взаимозаменяемы. Область относится к двумерному измерению поверхности объекта, а объем относится к трехмерному пространственному измерению объекта.Единицы всегда будут возведены в квадрат для площади, а единицы всегда будут в кубе для объема.

Калькулятор объема

| Pi Day

Калькулятор объема определит объем наиболее распространенных геометрических тел.

Что такое объем?

Объем — это общая площадь внутренней части твердого тела. Зная определение объема, теперь мы можем сосредоточиться на формулах объема обычных геометрических тел. Использовать эти формулы вручную не составит труда, но для получения быстрых и точных результатов каждый раз используйте калькулятор объема.{3} \), где r — радиус.

Просто введите размеры в калькулятор, чтобы найти объем. Единицы измерения объема всегда будут в кубе, а не в квадратных единицах площади.

@mometrix

Нужен калькулятор объема? Ссылка в биографии. ## pi ## piday ## volume ## сфера ## math ## mathhelp ## mometrix ## fyp

♬ оригинальный звук — Mometrix Test Preparation

Расчет объема куба Пример

Вот пример для расчета объема куба.{2} (4) = 12 \ pi \) кубических сантиметров

Можно задаться вопросом, где этот калькулятор будет полезен в реальной жизни. Это очень важно с точки зрения архитектуры и строительства.

Связанные темы, представляющие интерес

В реальной жизни существует множество приложений, в которых полезен калькулятор объема. Один из таких примеров — строительство дорог или тротуаров, где должны быть построены бетонные плиты. Обычно бетонные плиты представляют собой твердые тела прямоугольной формы, поэтому можно использовать калькулятор с прямоугольной призмой.

Придерживаясь строительной темы, площадь поверхности важна при определении количества плитки, которое нужно положить на прямоугольный пол, обоев на стену или количества краски, необходимого для покрытия всей поверхности здания.

Все эти расчеты можно выполнить вручную, но в реальном мире время имеет решающее значение при завершении проекта. Следовательно, калькулятор, который решит эти проблемы, необходимы объем и площадь поверхности. Попробуйте наши сегодня!

@mometrix

Нужен калькулятор объема? Ссылка в биографии! ## pi ## piday ## volume ## cone ## formula ## math ## mathhelp ## mometrix ## geometry ## fyp ## stepbystep

♬ оригинальный звук — Mometrix Test Preparation

@mometrix

Вот формула объема баллона! Ссылка в биографии для получения дополнительной информации.## pi ## piday ## formula ## math ## mathhelp ## mometrix ## fyp ## stepbystep ## cyl

♬ оригинальный звук — подготовка к тесту Mometrix

Разница между площадью и объемом (с таблицей)

Верно, что и термины, и площадь, и объем широко используются в повседневной жизни. Хотя нас учат площади и объему в школьные дни, важно помнить о них на всю оставшуюся жизнь. Часто можно увидеть, что большинство из нас часто путают оба термина.

Хотя площадь и объем могут показаться большинству из нас почти одинаковыми, это совсем не так.

Площадь по сравнению с объемом

Отличие между площадью и объемом заключается в том, что площадь означает пространство, которое занимает объект, а объем означает пространство, которое содержит объект. Область имеет двухмерные формы, а объем имеет трехмерные формы. Например, банка покрывает 5 см площади, тогда как такая же банка содержит 5 литров воды, что составляет объем банки.

Общее пространство, занимаемое объектами при размещении на плоской или плоской поверхности, называется площадью объекта. Точно так же есть объекты, у которых есть собственная емкость. Например, резервуар для воды обладает собственной способностью удерживать внутри определенное количество воды.

Это объем резервуара для воды. Важно отметить, что только полые объекты имеют объемы, которые можно измерить с помощью соответствующих формул.

Таблица и предстоящая информация по этим двум терминам должны пролить свет на тему и помочь вам понять основные различия между площадью и объемом объекта.

Таблица сравнения площади и объема

Параметр сравнения	Площадь	Объем
Определение	Относится к пространству, занимаемому формой или объектом при размещении на плоской поверхности.	Общая вместимость объекта.
Фигуры	Простые фигуры.	Твердые тела любой формы с полостью внутри, например цистерны, чемоданы и стаканы.
Измерено в	квадратных единиц.	Кубическая единица.
Включает	Всегда включает двухмерные объекты или формы	Всегда включает трехмерные объекты или формы.

Что такое площадь?

Если вернуться в прошлое и вернуться к урокам математики, нам сказали, что площадь любого объекта — это полное двумерное пространство, которое покрывает объект или форма.Не будет ошибкой, если мы скажем, что площадь объекта в основном говорит нам о количестве пространства, которое занимает любой плоский объект.

Это просто вычисляется путем умножения различных размеров данной формы. Не будет ошибкой, если мы скажем, что площадь любого объекта скажет нам общее количество квадратов фиксированного размера, которое потребуется, чтобы скрыть указанный объект.

Согласно Международной системе единиц или СИ, стандартной единицей площади является квадратный метр, который выражается в м².Для нас важно отметить, что площадь разных форм измеряется по разным формулам. Некоторые из наиболее часто используемых формул обсуждаются ниже.

1. Площадь квадрата : сторона x сторона
2. Площадь прямоугольника : длина x ширина
3. Площадь параллелограмма : ширина x высота
4. Площадь треугольника: (ширина x высота ) x 2
5. Площадь круга : πr²

Что такое объем?

Когда мы говорим о объеме любого объекта, это в основном относится к общему количеству трехмерного пространства, которое заключено в замкнутую поверхность .

Другими словами, он сообщает нам общий объем пространства, содержащегося в объекте. Единицей объема в системе СИ является кубический метр, представленный в м³. Если говорить простым языком, объем чего-либо — это всего лишь общая вместимость объекта. Например, футбольный мяч или даже баскетбольный мяч будет удерживать внутри определенный объем или количество воздуха.

Так же, как площадь объекта различной формы, существуют разные формулы для измерения объема различных типов объектов.Эти формулы обсуждались ниже для вашего удобства.

1. Объем куба : a³
2. Объем прямоугольной призмы : длина x ширина x высота
3. Объем сферы : (4/3) x π x r³
4. Объем цилиндра : π x r² x высота
5. Объем конуса : π x r² x (высота / 3)

Основные различия между площадью и объемом

1. Площадь всегда относится к двумерный объект или объект на плоскости. С другой стороны, объем используется для определения трехмерного объекта и его индивидуальной вместимости.
2. Любая плоская фигура будет иметь площадь, тогда как твердые фигуры всегда будут иметь объем.
3. Когда мы говорим о площади чего-либо, это в основном говорит нам о количестве пространства, заключенного между сторонами объекта, которые обычно имеют длину и ширину. В то же время под объемом понимается общая вместимость любого твердого объекта, включая его длину, ширину и высоту.
4. Площадь любого объекта измеряется в квадратных сантиметрах, квадратных метрах или даже квадратных километрах. Однако объем измеряется в кубических единицах, таких как кубические сантиметры, кубические метры и кубические граммы.
5. Любая фигура, имеющая 2 измерения, длину и ширину, всегда будет иметь площадь. Однако любая фигура, имеющая 3 измерения, такие как длина, ширина и высота, всегда будет иметь объем.

Часто задаваемые вопросы о площади и объеме

Емкость и объем — это одно и то же?

Объем — это пространство, обычно занимаемое объектом, тогда как емкость означает, сколько объект может содержать или нести в себе. Например, если вы поставите бутылку воды на стол, она займет пустое место на столе.

Это пустое место и есть том. Однако пространство, занимаемое водой внутри бутылки, — это вместимость бутылки, определяющая максимальное количество воды, которое она может содержать внутри.

Емкость и объем имеют схожие понятия, но не одно и то же.

В чем разница между площадью и площадью поверхности?

Область — это слово или выражение, которое используется в контексте размеров двухмерной плоскости, например игровой площадки.Площадь плоскости может быть выражена во многих единицах, таких как квадратный метр, гектар, акр, квадратный километр, квадратный фут и квадратная миля, и это лишь некоторые из них.

С другой стороны, поверхность может быть такой же, если она также используется в контексте 2D плоскости. Но площадь поверхности обычно выражает размер открытой поверхности объекта. Следовательно, площадь поверхности чаще всего используется в контексте трехмерных объектов.

Например — Куб имеет общую площадь поверхности, равную сумме площадей всех его шести сторон.

Какие две формулы для объема?

Существует множество формул для расчета объема различных форм и предметов.

Две наиболее часто используемые формулы — это формулы, используемые для кубоида и призмы:

1. Формула для расчета объема кубоида — lwh. Здесь l = длина, w = ширина и h = высота.
2. Формула для расчета объема призмы — Bh. Здесь B = площадь основания и h = высота.

Какова формула для определения площади сферы?

Формула для определения площади сферы:
A = 4π × r2

В этой формуле A обозначает площадь; π обозначает пи, а r обозначает радиус.Эта формула была впервые использована известным греческим философом Архимедом около двух тысяч лет назад.

Заключение

Благодаря вышеизложенному обсуждению мы все теперь знаем, что такое площадь и что такое объем. Мы также знаем, как нам нужно измерять площади и объемы любого объекта.

К настоящему времени совершенно ясно, что площадь и объем — это отдельные математические понятия, которые во многом отличаются друг от друга.

Площадь любого двумерного объекта или фигуры относится к пространству, покрытому любым плоским объектом.В то же время объем любого трехмерного объекта или фигуры относится к общему количеству пространства внутри указанного объекта.

Когда дело доходит до измерения площади любой двумерной формы или объекта, существуют разные формулы, используемые для разных форм, например, есть отдельная формула для измерения площади квадрата и другая формула для измерения площади. треугольника.

Точно так же существуют разные формулы, используемые для измерения объема различных типов трехмерных фигур или объектов.Например, вам нужно использовать другую формулу для измерения объема цилиндра и другую формулу для измерения объема сферы.

Исчисление I — Формулы площади и объема

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 7-6: Формулы площади и объема

В этом разделе мы выведем формулы, используемые для определения площади между двумя кривыми и объема тела вращения.

Площадь между двумя кривыми

Начнем с формулы для определения площади между \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{ яркий]\). Мы также будем предполагать, что \ (f \ left (x \ right) \ ge g \ left (x \ right) \) на \ (\ left [{a, b} \ right] \).

Теперь мы продолжим действовать так же, как когда мы рассматривали проблему площади в главе «Интегралы». * \), и затем мы можем использовать прямоугольники на каждом интервале следующим образом.{{\, b}} {{f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right) \, dx}} \]

Формула выше будет работать при условии, что две функции имеют вид \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \). Однако не все функции имеют такую ​​форму.

Иногда мы будем вынуждены работать с функциями в виде между \ (x = f \ left (y \ right) \) и \ (x = g \ left (y \ right) \) на интервале \ (\ left [{c, d} \ right] \) (интервал значений \ (y \)…). Когда это происходит, вывод идентичен.{{\, d}} {{f \ left (y \ right) — g \ left (y \ right) \, dy}} \]

Итак, независимо от формы, в которой находятся функции, мы используем в основном одну и ту же формулу.

Объемы для Solid of Revolution

Прежде чем вывести формулу для этого, мы, вероятно, должны сначала определить, что такое твердое тело революции. Чтобы получить твердое тело вращения, мы начинаем с функции \ (y = f \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{a, b} \ right] \). * \).{{\, b}} {{A \ left (x \ right) \, dx}} \ end {align *} \]

Итак, в этом случае объем будет интегралом площади поперечного сечения при любых \ (x \), \ (A \ left (x \ right) \). Также обратите внимание, что в этом случае площадь поперечного сечения представляет собой круг, и мы могли бы пойти дальше и получить формулу для этого. Однако приведенная выше формула является более общей и будет работать для любого способа получения поперечного сечения, поэтому мы оставим все как есть.

В разделах, где мы фактически используем эту формулу, мы также увидим, что есть способы создания поперечного сечения, которые фактически дают площадь поперечного сечения, которая является функцией \ (y \) вместо \ (x \).{{\, d}} {{A \ left (y \ right) \, dy}} \] .